La partie réelle et imaginaire d’un nombre complexe sont deux nombres réels qui permettent de définir et de manipuler les nombres complexes de manière unique.
Partie réelle et imaginaire d’un nombre complexe
Un nombre complexe \( z \) est un nombre de la forme \( z = a + bi \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels, et \( i \) est l’unité imaginaire, définie par \( i^2 = -1 \).
Partie réelle : La partie réelle de \( z \), notée \( \text{Re}(z) \) ou \( \Re(z) \), est le nombre réel \( a \).
Partie imaginaire : La partie imaginaire de \( z \), notée \( \text{Im}(z) \) ou \( \Im(z) \), est le nombre réel \( b \).
Ainsi, tout nombre complexe \( z \) peut s’écrire de manière unique sous la forme :
\[ z = \text{Re}(z) + \text{Im}(z) \cdot i \]Représentation graphique (Plan complexe):
On peut représenter un nombre complexe \( z = a + bi \) dans le plan complexe (ou plan d’Argand-Cauchy) par un point de coordonnées \( (a, b) \), où \( a = \text{Re}(z) \) est l’abscisse (axe horizontal) et \( b = \text{Im}(z) \) est l’ordonnée (axe vertical).
Exemples sur la partie réelle et imaginaire d’un nombre complexe
Exemple 1: Soit \( z = 3 – 4i \). Alors \( \text{Re}(z) = 3 \) et \( \text{Im}(z) = -4 \).
Exemple 2: Soit \( z = -2 + i \). Alors \( \text{Re}(z) = -2 \) et \( \text{Im}(z) = 1 \).
Exemple 3: Soit \( z = 5i \). Alors \( \text{Re}(z) = 0 \) et \( \text{Im}(z) = 5 \).
Exemple 4: Soit \( z = 7 \). Alors \( \text{Re}(z) = 7 \) et \( \text{Im}(z) = 0 \) (tout nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle).
Exemple 5: Trouver la partie réelle et imaginaire de \( z = (1 + 2i)(3 – i) \).
Réponse: On développe le produit : \[ z = (1 + 2i)(3 – i) = 1(3) + 1(-i) + 2i(3) + 2i(-i) = 3 – i + 6i – 2i^2 = 3 + 5i – 2(-1) = 5 + 5i \] Donc \( \text{Re}(z) = 5 \) et \( \text{Im}(z) = 5 \).
Exemple 6: Si \(z\) est un nombre complexe, quelle est la partie réelle et imaginaire de \(\overline{z}\) (le conjugué de \(z\))?
Réponse: Si \( z = a + bi \), alors \( \overline{z} = a – bi \). Donc \( \text{Re}(\overline{z}) = a = \text{Re}(z) \) et \( \text{Im}(\overline{z}) = -b = -\text{Im}(z) \).