Le module d’un nombre complexe est une mesure de la « taille » de ce nombre, correspondant à sa distance à l’origine dans le plan complexe. Il généralise la notion de valeur absolue pour les nombres réels.
Module d’un nombre complexe
Soit \( z = a + bi \) un nombre complexe, où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels et \( i \) est l’unité imaginaire ( \( i^2 = -1 \) ).
Le module de z, noté \( |z| \), est défini par :
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2} \]Le module est toujours un nombre réel positif ou nul.
Interprétation géométrique : Dans le plan complexe, \( |z| \) représente la distance entre le point \( (a, b) \) représentant \( z \) et l’origine \( (0, 0) \). C’est une application directe du théorème de Pythagore.
Propriétés importantes :
- \( |z| \ge 0 \) pour tout \( z \in \mathbb{C} \), et \( |z| = 0 \) si et seulement si \( z = 0 \).
- \( |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| \) pour tous \( z_1, z_2 \in \mathbb{C} \).
- \( \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \) pour tous \( z_1, z_2 \in \mathbb{C} \) avec \( z_2 \neq 0 \).
- \( |z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| \) (inégalité triangulaire).
- \( |\text{Re}(z)| \le |z| \) et \( |\text{Im}(z)| \le |z| \).
- \( |z| = |\overline{z}| \), où \(\overline{z}\) est le conjugué de \(z\).
- \( z\overline{z} = |z|^2 \)
Exemples sur le Module d’un nombre complexe
Exemple 1: Soit \( z = 3 – 4i \). Alors \( |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \).
Exemple 2: Soit \( z = -2 + i \). Alors \( |z| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \).
Exemple 3: Soit \( z = 5i \). Alors \( |z| = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5 \).
Exemple 4: Soit \( z = -7 \). Alors \( |z| = \sqrt{(-7)^2 + 0^2} = \sqrt{49} = 7 \) (le module d’un nombre réel est sa valeur absolue).
Exemple 5: Calculer \( |(1 + i)(2 – 3i)| \).
Réponse: On peut utiliser la propriété \( |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| \) : \( |(1 + i)(2 – 3i)| = |1 + i| |2 – 3i| = \sqrt{1^2 + 1^2} \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{2} \sqrt{13} = \sqrt{26} \).
Exemple 6: Trouver tous les nombres complexes \(z\) tels que \(|z-1| = 2\).
Réponse: Géométriquement, cela représente l’ensemble des points du plan complexe situés à une distance de 2 du point (1, 0). C’est donc un cercle de centre (1, 0) et de rayon 2. Si \( z = x + iy \), alors l’équation devient \( |(x – 1) + iy| = 2 \), soit \( \sqrt{(x – 1)^2 + y^2} = 2 \), ou encore \( (x – 1)^2 + y^2 = 4 \), qui est bien l’équation d’un cercle.