Cet article explique la multiplication et division des nombres complexes, un sujet essentiel en mathématiques avancées.
Multiplication et division des nombres complexes
La multiplication de deux nombres complexes \(z_1 = a + bi\) et \(z_2 = c + di\) s’effectue comme suit :
\(z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac – bd) + (ad + bc)i\), car \(i^2 = -1\).
La division de deux nombres complexes \(z_1 = a + bi\) par \(z_2 = c + di\) nécessite l’utilisation du conjugué de \(z_2\), noté \(\overline{z_2} = c – di\). On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} = \frac{ac – adi + bci – bdi^2}{c^2 – d^2i^2} = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc – ad}{c^2 + d^2}i\)
Exemples sur Multiplication et division des nombres complexes
Voici des exemples illustrant la multiplication et division des nombres complexes :
Exemple 1 : Multiplier \(z_1 = 2 + 3i\) par \(z_2 = -1 + i\).
Solution : \(z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(-1 + i) = -2 + 2i – 3i + 3i^2 = -2 – i – 3 = -5 – i\)
Exemple 2 : Diviser \(z_1 = 1 – i\) par \(z_2 = 1 + i\).
Solution : \(\frac{1 – i}{1 + i} = \frac{(1 – i)(1 – i)}{(1 + i)(1 – i)} = \frac{1 – 2i + i^2}{1 – i^2} = \frac{1 – 2i – 1}{1 + 1} = \frac{-2i}{2} = -i\)
Exemple 3 : Calculer \((2 – i)(3 + 2i)\) et \(\frac{4 + 3i}{1 – i}\).
Solution:
\((2-i)(3+2i) = 6 + 4i -3i -2i^2 = 6 + i + 2 = 8 + i\)
\(\frac{4+3i}{1-i} = \frac{(4+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{4+4i+3i+3i^2}{1-i^2} = \frac{4+7i-3}{1+1} = \frac{1+7i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{7}{2}i\)