En analyse complexe, l’affixe d’un point est une notion essentielle pour représenter géométriquement les nombres complexes et leurs opérations dans le plan complexe.
L’affixe d’un point
En mathématiques, et plus précisément dans le cadre des nombres complexes, l’affixe d’un point $M$ du plan complexe, souvent noté $z_M$, est le nombre complexe qui lui est associé de manière unique. Si l’on considère un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ du plan complexe, où l’axe des abscisses est l’axe réel et l’axe des ordonnées est l’axe imaginaire, alors pour tout point $M$ de coordonnées cartésiennes $(x, y)$, son affixe est défini par le nombre complexe $z_M = x + iy$, où $i$ est l’unité imaginaire telle que $i^2 = -1$.
Réciproquement, à tout nombre complexe $z = x + iy$, on peut associer un unique point $M$ du plan complexe dont les coordonnées sont $(x, y)$. Cette correspondance biunivoque permet d’établir un lien fort entre la géométrie du plan et l’algèbre des nombres complexes. L’opération d’associer un nombre complexe à un point, et vice-versa, est au cœur de nombreuses applications en mathématiques, en physique, et en ingénierie.
L’intérêt majeur de l’affixe d’un point réside dans sa capacité à traduire des opérations géométriques en opérations algébriques sur les nombres complexes. Par exemple, la translation d’un vecteur $\vec{w}$ d’affixe $w$ correspond à l’addition de $w$ à l’affixe de chaque point. De même, les rotations et les homothéties peuvent être décrites par des multiplications par des nombres complexes appropriés.
Formellement, si $M$ a pour coordonnées $(x, y)$ dans le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$, alors l’affixe de $M$ est donné par :
\( z_M = x + iy \)
où \( x = \Re(z_M) \) est la partie réelle de $z_M$ et \( y = \Im(z_M) \) est la partie imaginaire de $z_M$.
Exemples sur l’affixe d’un point
Pour illustrer concrètement la notion d’affixe d’un point, considérons quelques exemples détaillés.
Exemple 1: Affixe d’un point donné par ses coordonnées cartésiennes
Soit le point $A$ de coordonnées cartésiennes $(3, -2)$ dans le plan complexe. Déterminons l’affixe du point $A$.
Solution détaillée:
Les coordonnées du point $A$ sont $x = 3$ et $y = -2$. Par définition, l’affixe de $A$, noté $z_A$, est donné par $z_A = x + iy$. En substituant les valeurs de $x$ et $y$, on obtient :
\( z_A = 3 + i(-2) = 3 – 2i \)
Ainsi, l’affixe du point $A$ est $3 – 2i$.
Exemple 2: Point du plan complexe à partir de son affixe
Soit un nombre complexe $z_B = -1 + 4i$. Déterminons les coordonnées cartésiennes du point $B$ dont l’affixe est $z_B$. Représentons également le point $B$ dans le plan complexe à l’aide d’un canvas.
Solution détaillée:
Le nombre complexe $z_B = -1 + 4i$ est de la forme $x + iy$, avec partie réelle $x = -1$ et partie imaginaire $y = 4$. Par conséquent, les coordonnées cartésiennes du point $B$ sont $(-1, 4)$.