Formules d’Euler

Les Formules d’Euler jouent un rôle essentiel dans l’analyse des nombres complexes et des fonctions exponentielles, offrant des outils puissants pour les mathématiques avancées.

La formule d’Euler principale relie les fonctions exponentielles et trigonométriques de la manière suivante :

$e^{i θ} = \cos (θ) + i \sin (θ)$

Où $θ$ est un angle réel, $e$ la base du logarithme naturel, et $i$ l’unité imaginaire.

Une conséquence célèbre de cette formule est l’identité d’Euler :

$e^{i π} + 1 = 0$

Cette identité lie cinq des constantes mathématiques les plus importantes : $e$ , $i$ , $π$ , 1, et 0.

Les formules d’Euler sont fondamentales dans divers domaines, y compris l’analyse complexe, la physique et l’ingénierie.

Exemples sur Formules d’Euler

Exemple 1 :

Calculer $e^{i \frac{π}{3}}$ en utilisant la formule d’Euler.

Solution :

Appliquons la formule :

$e^{i \frac{π}{3}} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$

Calculons les fonctions trigonométriques :

$\cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}, \sin (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ainsi :

$e^{i \frac{π}{3}} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

Exemple 2 :

Utiliser l’identité d’Euler pour prouver que $e^{i π} + 1 = 0$ .

Solution :

En appliquant la formule d’Euler :

$e^{i π} = \cos (π) + i \sin (π)$

Nous savons que :

$\cos (π) = - 1, \sin (π) = 0$

Donc :

$e^{i π} = - 1 + i \cdot 0 = - 1$

Par conséquent :

$e^{i π} + 1 = - 1 + 1 = 0$

Formules d’Euler

Exemples sur Formules d’Euler

Exemple 1 :

Exemple 2 :

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