L’algorithme du pivot de Gauss est un procédé fondamental pour la résolution des systèmes linéaires et constitue une étape majeure dans de nombreux domaines de recherche.
L’algorithme du pivot de Gauss
L’algorithme du pivot de Gauss repose sur des opérations élémentaires de ligne visant à simplifier un système de la forme :
\[ \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n = b_1 \\[6pt] a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n = b_2 \\[6pt] \vdots \\[6pt] a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \dots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases} \]Les étapes de pivot consistent à éliminer successivement les inconnues pour obtenir un système échelonné, puis remonter pour trouver la solution. Cette méthode peut être adaptée pour le calcul de la matrice inverse en utilisant une matrice identité adjointe.
Exemples sur L’algorithme du pivot de Gauss
Exemple 1 : Soit le système :
\[ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 5y = 11 \end{cases} \]On applique L’algorithme du pivot de Gauss :
- Premièrement, on utilise la première équation pour éliminer \(x\) dans la seconde.
- On obtient alors une équation en \(y\) : \[ 2x + 5y – 2(x + 2y) = 11 – 2 \times 5 \quad \Rightarrow \quad y = 1. \]
- En substituant \(y = 1\) dans la première équation, \(x + 2 \times 1 = 5 \) donc \( x = 3 \).
La réponse finale est donc \((x, y) = (3, 1)\).
Exemple 2 : Considérons maintenant le système :
\[ \begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 4y + z = 8 \\ x – y + 2z = 4 \end{cases} \]En appliquant L’algorithme du pivot de Gauss :
- On utilise la première équation comme pivot pour éliminer \(x\) dans les deuxième et troisième équations.
- Une fois ces opérations terminées, on obtient un système échelonné. Par exemple : \[ \begin{cases} x + y + z = 3 \\ 0 + 2y – z = 2 \\ 0 – 2y + z = 1 \end{cases} \]
- On poursuit l’élimination pour isoler \(y\) et \(z\). Dans ce cas : \[ 2y – z = 2, \quad -2y + z = 1. \]
- En additionnant les deux dernières équations, on trouve \(0 = 3\), ce qui signale une absence de solution ou un système inconsistant selon les valeurs initiales (si les équations sont effectivement contradictoires).
L’algorithme du pivot de Gauss permet ainsi de déterminer rapidement si un système possède une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution.