Définition et notions de Base
Le domaine de définition d’une fonction \(f\), noté \(D_f\), est l’ensemble des valeurs réelles (ou complexes, selon le contexte) pour lesquelles la fonction est définie. Formellement, \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ existe} \}\). C’est l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable d’entrée.
L’image d’une fonction \(f\), notée \(Im(f)\) ou \(f(D_f)\), est l’ensemble des valeurs que la fonction peut prendre en sortie. Formellement, \(Im(f) = \{f(x) \mid x \in D_f\}\).
Un antécédent d’une valeur \(y\) par une fonction \(f\) est une valeur \(x\) dans le domaine de définition de \(f\) telle que \(f(x) = y\). Une valeur \(y\) peut avoir un, plusieurs, ou aucun antécédent. Trouver les antécédents revient à résoudre l’équation \(f(x) = y\).
Le graphe d’une fonction \(f\) est l’ensemble des couples \((x, f(x))\) où \(x\) parcourt le domaine de définition de \(f\). Formellement, \(G_f = \{(x, f(x)) \mid x \in D_f \} \subset \mathbb{R}^2\) (ou \(\mathbb{C}^2\) dans le cas complexe).
La courbe représentative d’une fonction \(f\) est la représentation graphique du graphe de \(f\) dans un repère (généralement orthonormé). C’est une courbe dans le plan qui visualise le comportement de la fonction.
Propriétés des fonctions
Une fonction \(f: A \to B\) est dite injective (ou est une injection) si chaque élément de l’ensemble d’arrivée \(B\) a au plus un antécédent dans l’ensemble de départ \(A\). Formellement : \(\forall x_1, x_2 \in A, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2\). Graphiquement, cela signifie qu’une droite horizontale coupe le graphe de la fonction en au plus un point.
Une fonction \(f: A \to B\) est dite surjective (ou est une surjection) si chaque élément de l’ensemble d’arrivée \(B\) a au moins un antécédent dans l’ensemble de départ \(A\). Formellement : \(\forall y \in B, \exists x \in A \text{ tel que } f(x) = y\). Cela signifie que l’image de la fonction est égale à l’ensemble d’arrivée : \(Im(f) = B\).
Une fonction est dite bijective (ou est une bijection) si elle est à la fois injective et surjective. Cela signifie que chaque élément de l’ensemble d’arrivée a exactement un antécédent. Une fonction bijective admet une fonction réciproque, notée \(f^{-1}\).
Une fonction \(f\) est dite paire si, pour tout \(x\) dans son domaine de définition, \(f(-x) = f(x)\). Le graphe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Une fonction \(f\) est dite impaire si, pour tout \(x\) dans son domaine de définition, \(f(-x) = -f(x)\). Le graphe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.
Une fonction \(f\) est dite périodique s’il existe un nombre réel \(T > 0\) (appelé période) tel que, pour tout \(x\) dans le domaine de définition de \(f\), \(f(x + T) = f(x)\). Le graphe d’une fonction périodique se répète à intervalles réguliers de longueur \(T\).
Une fonction \(f\) est dite croissante sur un intervalle \(I\) si, pour tous \(x_1, x_2 \in I\), \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2)\). Elle est strictement croissante si \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)\). Une fonction \(f\) est dite décroissante sur un intervalle \(I\) si, pour tous \(x_1, x_2 \in I\), \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) \ge f(x_2)\). Elle est strictement décroissante si \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)\).
Une fonction est dite constante sur un intervalle \( I \) si pour tous \( x_1 \) , \( x_2 \) ∈ \( I \) , \(f(x_1)\) = \(f(x_2)\).
Une fonction est monotone sur un intervalle si elle est soit croissante, soit décroissante sur cet intervalle. Elle est strictement monotone si elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante.
Une fonction \(f\) est dite bornée sur un ensemble \(S\) si son image \(f(S)\) est un ensemble borné. Cela signifie qu’il existe des nombres réels \(m\) et \(M\) tels que \(m \le f(x) \le M\) pour tout \(x \in S\). On distingue une borne supérieure (majorant) et une borne inférieure (minorant).
Opérations sur les fonctions
Composition de fonctions : Soient $f: A \rightarrow B$ et $g: B \rightarrow C$, la composition $g \circ f: A \rightarrow C$ est définie par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Il est crucial de vérifier que l’image de $f$ est bien incluse dans le domaine de $g$.
Transformation de fonctions :
- Décalage : Ajouter ou soustraire une constante à l’argument ou à la valeur de la fonction. Par exemple, $f(x + a)$ décale la fonction de $-a$ le long de l’axe des x, tandis que $f(x) + b$ la décale de $b$ le long de l’axe des y.
- Homothétie : Multiplier l’argument ou la valeur de la fonction par une constante. $f(kx)$ compresse ou étire la fonction horizontalement, et $kf(x)$ verticalement.
- Symétrie : $f(-x)$ reflète la fonction par rapport à l’axe des y, et $-f(x)$ par rapport à l’axe des x.
Fonction exponentielle
Définition : La fonction exponentielle naturelle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$, est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ et utilise la base $e \approx 2.71828$.
Notation : $\exp(x)$ est souvent utilisée pour éviter la confusion avec d’autres bases exponentielles.
Domaine de définition : $\mathbb{R}$, car $e^x$ est définie pour tout réel $x$.
Propriétés opératoires : $\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)$, $\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}$.
Dérivée : La fonction $\exp(x)$ est sa propre dérivée, c’est-à-dire $\frac{d}{dx} \exp(x) = \exp(x)$.
Sens de variation : $\exp(x)$ est strictement croissante sur tout son domaine.
Limites aux bornes : – $\lim_{x \to \infty} \exp(x) = \infty$, – $\lim_{x \to -\infty} \exp(x) = 0$.
Inégalité classique : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) \geq 1 + x$, avec égalité si et seulement si $x = 0$.
Courbe représentative :
Dérivée d'une fonction
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), la dérivée en un point \(x_0\) est définie comme la limite du taux de variation moyen lorsque l'accroissement tend vers zéro : \[\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]
Propriétés
1. Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors \(f\) est continue en \(x_0\)
2. La somme de fonctions dérivables est dérivable
3. Le produit de fonctions dérivables est dérivable
4. La composée de fonctions dérivables est dérivable
La dérivabilité d'une fonction nous permet d'étudier son comportement local et global. Une fonction dérivable possède des propriétés remarquables qui sont essentielles en analyse.
Proposition
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\), alors : \[f'(x) > 0 \Rightarrow f \text{ strictement croissante sur } I\] \[f'(x) < 0 \Rightarrow f \text{ strictement décroissante sur } I\]Théorème 1 (Rolle)
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\) et \(f(a)=f(b)\), alors il existe \(c \in ]a,b[\) tel que \(f'(c)=0\)Théorème 2 (Lagrange)
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\), alors il existe \(c \in ]a,b[\) tel que : \[f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\]Théorème 3 (Cauchy)
Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \([a,b]\) et dérivables sur \(]a,b[\), avec \(g'(x) \neq 0\), alors il existe \(c \in ]a,b[\) tel que : \[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\]Théorème 4 (Darboux)
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\), alors \(f'\) possède la propriété des valeurs intermédiaires sur \(I\).Fonctions réciproques
Une fonction réciproque, également appelée fonction inverse, est un concept fondamental en mathématiques qui permet d'inverser la relation entre les variables d'une fonction bijective. Pour une fonction f : X → Y bijective, sa réciproque f⁻¹ : Y → X est définie de telle sorte que pour tout y ∈ Y, f⁻¹(y) est l'unique élément x ∈ X tel que f(x) = y.
Propriétés
1. Pour tout x ∈ X : f⁻¹(f(x)) = x 2. Pour tout y ∈ Y : f(f⁻¹(y)) = y 3. (f⁻¹)⁻¹ = f 4. Si f est strictement monotone sur X, alors f⁻¹ est strictement monotone sur YProposition
Soit f une fonction bijective de X dans Y. La dérivée de la fonction réciproque en un point y₀ = f(x₀) est donnée par : \[ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \] où f'(x₀) ≠ 0L'étude des fonctions réciproques est particulièrement importante en analyse mathématique et trouve de nombreuses applications en calcul différentiel.
Théorème 1
Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I admet une réciproque continue sur f(I).Théorème 2
Si f est dérivable sur I avec f' ne s'annulant pas sur I, alors f⁻¹ est dérivable sur f(I).Théorème 3
Pour toute fonction f bijective et dérivable sur I, si f⁻¹ est dérivable en y₀ = f(x₀), alors : \[ \lim_{h \to 0} \frac{f^{-1}(y_0 + h) - f^{-1}(y_0)}{h} = \frac{1}{f'(x_0)} \]Théorème 4
Si f est une fonction bijective et continue sur [a,b], alors f⁻¹ est intégrable sur [f(a),f(b)] et : \[ \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)dx + \int_a^b f(x)dx = bf(b) - af(a) \]Fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur \(\mathbb{R}^{+*}\) et prend ses valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Pour tout réel \(x > 0\), \(\ln(x)\) est l'unique réel \(y\) tel que \(e^y = x\).
Théorème : La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^{+*}\) et pour tout \(x > 0\), \(\ln'(x) = \frac{1}{x}\).
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}^{+*}\).
Propriétés :
1. \(\forall (x,y) \in (\mathbb{R}^{+*})^2, \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)\)
2. \(\forall x \in \mathbb{R}^{+*}, \forall n \in \mathbb{R}, \ln(x^n) = n\ln(x)\)
3. \(\forall x \in \mathbb{R}^{+*}, \ln(\frac{1}{x}) = -\ln(x)\)
La fonction \(\ln\) admet une limite infinie en +∞ et une limite égale à -∞ en 0.
Proposition : La fonction \(\ln\) est l'unique primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\) qui s'annule en 1.
Fonctions arcsin, arccosinus, arctangente
| Caractéristiques | Arcsin | Arccos | Arctan |
|---|---|---|---|
| Notation | \(\arcsin(x)\) ou \(\sin^{-1}(x)\) | \(\arccos(x)\) ou \(\cos^{-1}(x)\) | \(\arctan(x)\) ou \(\tan^{-1}(x)\) |
| Départ et arrivée | \([-1,1] \rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) | \([-1,1] \rightarrow [0,\pi]\) | \(\mathbb{R} \rightarrow ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) |
| Lien avec fonctions circulaires | \(\sin(\arcsin(x))=x\) | \(\cos(\arccos(x))=x\) | \(\tan(\arctan(x))=x\) |
| Parité | Impaire | Ni paire ni impaire | Impaire |
| Dérivée | \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\frac{1}{1+x^2}\) |
| Monotonie | Strictement croissante | Strictement décroissante | Strictement croissante |
| Limites | \(\lim_{x \to 1} \arcsin(x) = \frac{\pi}{2}\) \(\lim_{x \to -1} \arcsin(x) = -\frac{\pi}{2}\) |
\(\lim_{x \to 1} \arccos(x) = 0\) \(\lim_{x \to -1} \arccos(x) = \pi\) |
\(\lim_{x \to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}\) \(\lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}\) |
| Formules | \(\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}\) | \(\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\) | \(\arctan(x) + \arctan(\frac{1}{x}) = \frac{\pi}{2}\) |
Fonctions sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique, tangente hyperbolique
| Propriété | Sinus hyperbolique (sh) | Cosinus hyperbolique (ch) | Tangente hyperbolique (th) |
|---|---|---|---|
| Notation | \[ \sinh(x) \] | \[ \cosh(x) \] | \[ \tanh(x) \] |
| Départ et arrivée | \[ \sinh: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \] | \[ \cosh: \mathbb{R} \to [1,+\infty[ \] | \[ \tanh: \mathbb{R} \to ]-1,1[ \] |
| Lien avec exp | \[ \sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \] | \[ \cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \] | \[ \tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \] |
| Parité | Impaire | Paire | Impaire |
| Dérivée | \[ \sinh'=\cosh \] | \[ \cosh'=\sinh \] | \[ \tanh'=1-\tanh^2 \] |
| Monotonie | Strictement croissante | Décroissante sur \(]-\infty,0]\) Croissante sur \([0,+\infty[\) |
Strictement croissante |
| Limites | \[ \lim_{x \to \pm\infty} \sinh(x) = \pm\infty \] | \[ \lim_{x \to \pm\infty} \cosh(x) = +\infty \] | \[ \lim_{x \to \pm\infty} \tanh(x) = \pm1 \] |
| Formules | \[ \sinh^2(x)-\cosh^2(x)=-1 \] | \[ \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1 \] | \[ \tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \] |