Équation différentielle linéaire d’ordre 1
Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 est une équation de la forme : \[ y’ + a(x)y = b(x) \] où \(a(x)\) et \(b(x)\) sont des fonctions continues sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\).
La forme générale peut également s’écrire : y’ = f(x,y) où \(f\) est une fonction affine en \(y\).
Théorème (Existence et unicité)
Soit \(a(x)\) et \(b(x)\) deux fonctions continues sur un intervalle \(I\). Pour tout \((x_0,y_0) \in I \times \mathbb{R}\), il existe une unique solution \(y\) de l’équation différentielle : \[ y’ + a(x)y = b(x) \] définie sur \(I\) et vérifiant la condition initiale \(y(x_0) = y_0\).Démonstration :
Cette équation vérifie les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz car \(f(x,y) = -a(x)y + b(x)\) est continue sur \(I \times \mathbb{R}\) et localement lipschitzienne par rapport à \(y\).Proposition (Méthode de résolution)
La solution générale de l’équation \(y’ + a(x)y = b(x)\) est donnée par : \[ y(x) = e^{-A(x)} \left( \int b(x)e^{A(x)}dx + C \right) \] où \(A(x) = \int a(x)dx\) est une primitive de \(a(x)\) et \(C\) une constante réelle.Théorème (Structure de l’ensemble des solutions)
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire \(y’ + a(x)y = b(x)\) forme un espace affine de dimension 1. La solution générale est la somme d’une solution particulière et de la solution générale de l’équation homogène associée \(y’ + a(x)y = 0\).Démonstration :
Soient \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions. Leur différence \(z = y_1 – y_2\) vérifie : \[ z’ + a(x)z = 0 \] Donc \(z(x) = Ce^{-A(x)}\) où \(C\) est une constante. Ainsi, l’écart entre deux solutions est proportionnel à la solution de l’équation homogène.Équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants
Une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants est une équation de la forme : \[ ay »(t) + by'(t) + cy(t) = f(t) \] où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des constantes réelles avec \(a \neq 0\), et \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\).
Lorsque \(f(t) = 0\), on dit que l’équation est homogène. Dans ce cas, l’équation s’écrit :
\[ ay »(t) + by'(t) + cy(t) = 0 \]Proposition 1:
L’ensemble des solutions de l’équation homogène forme un espace vectoriel de dimension 2 sur ℝ.Théorème 1:
La solution générale de l’équation homogène dépend de la nature des racines de l’équation caractéristique : 1) Si \(r_1\) et \(r_2\) sont deux racines réelles distinctes : \[ y(t) = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t} \] 2) Si \(r_1 = r_2 = r\) est une racine double réelle : \[ y(t) = (C_1 + C_2t)e^{rt} \] 3) Si \(r_1 = \alpha + i\beta\) et \(r_2 = \alpha – i\beta\) sont deux racines complexes conjuguées : \[ y(t) = e^{\alpha t}(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t)) \] où \(C_1\) et \(C_2\) sont des constantes réelles arbitraires.Pour l’équation non homogène, on cherche une solution particulière qui s’ajoute à la solution générale de l’équation homogène.
Théorème 2:
La solution générale de l’équation non homogène s’écrit : \[ y(t) = y_h(t) + y_p(t) \] où \(y_h(t)\) est la solution générale de l’équation homogène et \(y_p(t)\) est une solution particulière de l’équation complète.La méthode de variation des constantes permet de trouver une solution particulière pour toute fonction \(f(t)\) continue.
Proposition 2:
Pour des formes spéciales de \(f(t)\) (polynômes, exponentielles, sinus, cosinus), on peut chercher une solution particulière sous une forme adaptée.