Ensembles de nombres
En mathématiques, les ensembles de nombres constituent les structures fondamentales sur lesquelles repose toute l’analyse. Commençons par les définir rigoureusement.
L’ensemble des nombres naturels, noté \(\mathbb{N}\), est le plus simple et le plus intuitif. Il contient tous les entiers positifs ou nuls : \[\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, …\}\]
Proposition 1: Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), il existe un unique successeur \(n+1 \in \mathbb{N}\).
L’ensemble des nombres entiers relatifs, noté \(\mathbb{Z}\), étend \(\mathbb{N}\) en incluant les nombres négatifs : \[\mathbb{Z} = \{…,-2,-1,0,1,2,…\}\]
Théorème 1: \((\mathbb{Z},+,\times)\) est un anneau commutatif unitaire intègre.
L’ensemble des nombres rationnels, noté \(\mathbb{Q}\), est constitué des fractions d’entiers : \[\mathbb{Q} = \{\frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}^*, q \neq 0\}\]
Théorème 2: \((\mathbb{Q},+,\times)\) est un corps commutatif.
L’ensemble des nombres réels, noté \(\mathbb{R}\), complète \(\mathbb{Q}\) en incluant les nombres irrationnels comme \(\sqrt{2}\) et \(\pi\).
Théorème 3: \(\mathbb{R}\) est un corps totalement ordonné archimédien complet.
Enfin, l’ensemble des nombres complexes, noté \(\mathbb{C}\), étend \(\mathbb{R}\) en introduisant l’unité imaginaire \(i\) telle que \(i^2 = -1\) : \[\mathbb{C} = \{a + bi \mid a,b \in \mathbb{R}\}\]
Théorème 4: \(\mathbb{C}\) est un corps algébriquement clos.
Ces ensembles sont liés par les inclusions strictes suivantes : \[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\]
Droite réelle achevée
La droite réelle achevée, notée \(\overline{\mathbb{R}}\), est une extension de l’ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) obtenue en ajoutant deux points « à l’infini » :
+∞ et
-∞.
On définit ainsi : \[\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\]
Cette construction permet d’étendre la topologie naturelle de \(\mathbb{R}\) en une topologie compacte sur \(\overline{\mathbb{R}}\).
Proposition 1: La droite réelle achevée \(\overline{\mathbb{R}}\) est munie d’une relation d’ordre total compatible avec celle de \(\mathbb{R}\), où :
\[-\infty < x < +\infty \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}\]
La topologie de \(\overline{\mathbb{R}}\) est définie par une base de voisinages :
– Pour \(x \in \mathbb{R}\), les voisinages sont les intervalles ouverts contenant x
– Pour
+∞, les voisinages sont les intervalles \(]a,+\infty]\) avec \(a \in \mathbb{R}\)
– Pour
-∞, les voisinages sont les intervalles \([-\infty,a[\) avec \(a \in \mathbb{R}\)
Théorème 1: L’espace topologique \(\overline{\mathbb{R}}\) est :
1) Compact
2) Séparé (Hausdorff)
3) Connexe
4) Métrisable
La compactification de la droite réelle permet d’étendre certaines fonctions continues. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction continue, on peut définir une extension \(\overline{f} : \overline{\mathbb{R}} \to \overline{\mathbb{R}}\) en posant :
\[\overline{f}(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} f(x) \quad \text{si cette limite existe dans } \overline{\mathbb{R}}\]
\[\overline{f}(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} f(x) \quad \text{si cette limite existe dans } \overline{\mathbb{R}}\]
Proposition 2: Si les limites à l’infini de f existent dans \(\overline{\mathbb{R}}\), alors l’extension \(\overline{f}\) est continue sur \(\overline{\mathbb{R}}\).
Cette structure est particulièrement utile en
analyse complexe, où elle permet d’identifier \(\overline{\mathbb{R}}\) avec le cercle unité via la
projection stéréographique.
Borne supérieure et inférieure
Soit \( E \) un sous-ensemble non vide de \( \mathbb{R} \). Une borne supérieure de \( E \) est un nombre réel \( M \) vérifiant deux conditions fondamentales :
1) \( \forall x \in E, x \leq M \) (
condition de majorant)
2) \( \forall \varepsilon > 0, \exists x \in E : x > M – \varepsilon \) (
condition de précision)
De façon similaire, une borne inférieure de \( E \) est un nombre réel \( m \) tel que :
1) \( \forall x \in E, x \geq m \) (
condition de minorant)
2) \( \forall \varepsilon > 0, \exists x \in E : x < m + \varepsilon \) (
condition de précision)
Proposition 1: Si une borne supérieure existe, elle est unique. De même, si une borne inférieure existe, elle est unique.
La notion de complétude des nombres réels est intimement liée à l’existence des bornes supérieures et inférieures.
Théorème 1 (Axiome de la borne supérieure): Tout sous-ensemble non vide et majoré de \( \mathbb{R} \) admet une borne supérieure.
Une conséquence directe de ce théorème est que tout sous-ensemble non vide et minoré de \( \mathbb{R} \) admet une borne inférieure.
Notation : La borne supérieure de \( E \) se note \( \sup(E) \) ou \( \sup E \), et la borne inférieure se note \( \inf(E) \) ou \( \inf E \).
Proposition 2: Pour tout sous-ensemble \( E \) non vide de \( \mathbb{R} \), on a :
\[ \sup(-E) = -\inf(E) \text{ et } \inf(-E) = -\sup(E) \]
où \( -E = \{-x : x \in E\} \)
Il est important de noter que la borne supérieure d’un ensemble n’appartient pas nécessairement à cet ensemble. Par exemple, pour l’ensemble \( E = ]0,1[ \), on a \( \sup(E) = 1 \) mais \( 1 \notin E \).
Théorème 2: Soit \( E \) un sous-ensemble non vide de \( \mathbb{R} \). Un nombre réel \( M \) est la borne supérieure de \( E \) si et seulement si :
\[ \forall \varepsilon > 0, \exists x \in E : M – \varepsilon < x \leq M \]
Cette caractérisation est particulièrement utile pour démontrer qu’un nombre donné est la borne supérieure d’un ensemble.
