Fonctions convexes d’une variable réelle
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). La notion de convexité est intimement liée à la position du graphe de \(f\) par rapport aux segments qui joignent deux points quelconques de ce graphe.
Une fonction \(f\) est dite convexe sur \(I\) si pour tout \(x_1, x_2 \in I\) et pour tout \(t \in [0,1]\), on a :
\[f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\]- \(f\) est convexe sur \(I\)
- Pour tous points \(x_1, x_2 \in I\) et \(t \in [0,1]\), le point \((tx_1 + (1-t)x_2, f(tx_1 + (1-t)x_2))\) est situé sous ou sur le segment joignant les points \((x_1,f(x_1))\) et \((x_2,f(x_2))\)
La caractérisation géométrique de la convexité peut être exprimée en termes de position du graphe par rapport aux sécantes.
La position du graphe d’une fonction convexe par rapport à ses sécantes présente des propriétés remarquables :
Pour une fonction convexe \(f\), le graphe de \(f\) est situé en-dessous de toute tangente à la courbe. Cette propriété est caractéristique des fonctions convexes et peut s’écrire mathématiquement :
\[f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)\] pour tout \(x, a \in I\) où \(f\) est dérivable en \(a\).- \(f\) est continue sur l’intérieur de \(I\)
- \(f\) admet des dérivées à droite et à gauche en tout point intérieur de \(I\)
- Ces dérivées sont croissantes sur l’intérieur de \(I\)
Inégalité des pentes, inégalité de Jensen
En analyse mathématique, l’étude des fonctions convexes constitue un domaine fondamental qui trouve de nombreuses applications. Une fonction f : I → ℝ définie sur un intervalle I de ℝ est dite convexe si pour tout x, y ∈ I et pour tout t ∈ [0,1], on a :
\[ f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y) \]
Proposition 1: Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I, la convexité est équivalente à la croissance de la dérivée f’ sur I.
La caractérisation géométrique des fonctions convexes s’appuie sur la position de leur graphe par rapport aux sécantes. Pour tout intervalle [a,b] ⊂ I et tout x ∈ [a,b], on a :
\[ f(x) \leq \frac{b-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b) \]
Théorème (Inégalité des pentes): Soit f une fonction convexe sur I. Pour tous points x₁ < x₂ < x₃ de I, on a :
\[ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \leq \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \leq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2} \]
Une conséquence importante de la convexité est l’inégalité de Jensen, qui généralise la définition de la convexité à une combinaison convexe quelconque :
Théorème (Inégalité de Jensen): Soit f une fonction convexe sur I. Pour tout n-uplet (x₁,…,xₙ) d’éléments de I et tout n-uplet (λ₁,…,λₙ) de réels positifs de somme 1, on a :
\[ f(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \]
Pour les fonctions convexes d’une variable réelle, on peut établir plusieurs propriétés fondamentales :
1. Une fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue sur cet intervalle.
2. Si f est deux fois dérivable sur I, alors f est convexe si et seulement si f »(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I.
La position du graphe d’une fonction convexe par rapport à ses sécantes illustre géométriquement que le graphe se situe toujours en dessous de ses droites sécantes. Cette propriété caractérise les fonctions convexes et permet de démontrer de nombreuses inégalités classiques.
Fonctions convexes dérivables, deux fois dérivables, Points d’inflexion
Une fonction convexe sur un intervalle I est une fonction qui vérifie l’une des propriétés équivalentes suivantes. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ. On dit que f est convexe sur I si et seulement si :
Théorème 1: Pour tout couple de points (x₁,x₂) ∈ I² et pour tout t ∈ [0,1] :
f(tx₁ + (1-t)x₂) ≤ tf(x₁) + (1-t)f(x₂)
Pour une fonction dérivable, la convexité peut être caractérisée par la croissance de sa dérivée. Cette propriété est fondamentale dans l’étude des fonctions convexes.
Proposition 1: Si f est dérivable sur I, alors f est convexe sur I si et seulement si f’ est croissante sur I.
Pour les fonctions deux fois dérivables, nous avons une caractérisation encore plus simple :
Théorème 2: Si f est deux fois dérivable sur I, alors f est convexe sur I si et seulement si \( f »(x) \geq 0 \) pour tout x ∈ I.
Les points d’inflexion jouent un rôle crucial dans l’étude de la convexité. Un point d’inflexion est un point où la fonction change de concavité.
Proposition 2: Si f est deux fois dérivable sur I et si x₀ est un point d’inflexion, alors :
\[ f »(x₀) = 0 \]
La position du graphe d’une fonction convexe par rapport à ses sécantes est une propriété géométrique fondamentale. Pour tout intervalle [a,b] ⊂ I, le graphe de f est situé en-dessous de sa corde entre les points (a,f(a)) et (b,f(b)).
Pour une fonction f deux fois dérivable, l’étude du signe de f » permet de déterminer les intervalles de convexité et de concavité :
\[ \begin{cases} f »(x) > 0 \implies \text{f convexe} \\ f »(x) < 0 \implies \text{f concave} \end{cases} \]Les points d’inflexion sont caractérisés par le changement de signe de la dérivée seconde, avec la condition nécessaire \( f »(x₀) = 0 \).