Intégrale définie et indéfinie
L’intégrale est un concept fondamental en analyse mathématique qui permet de calculer l’aire sous une courbe. On distingue deux types principaux :
L’intégrale indéfinie de f(x), notée \[\int f(x)dx\], représente l’ensemble des primitives de f(x). Si F(x) est une primitive de f(x), alors :
\[\int f(x)dx = F(x) + C\]
où C est une constante arbitraire.
L’intégrale définie de f(x) sur [a,b], notée \[\int_a^b f(x)dx\], représente l’aire signée sous la courbe de f(x) entre x = a et x = b.
Le théorème fondamental du calcul établit le lien entre ces deux concepts :
\[\int_a^b f(x)dx = F(b) – F(a)\]
où F est une primitive quelconque de f.
Propriétés fondamentales :
\[\int_a^b [f(x) + g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx\]
\[\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx\]
\[\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx\]
Exemples sur l’intégrale définie et indéfinie
Considérons l’exemple de \[f(x) = x^2\] Intégrale indéfinie : \[\int x^2dx = \frac{x^3}{3} + C\] Démonstration : Vérifions que \[\frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3}) = x^2\] Intégrale définie sur [0,1] : \[\int_0^1 x^2dx = [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3} – 0 = \frac{1}{3}\] Application du théorème de la moyenne : Pour une fonction continue f sur [a,b], il existe c ∈ [a,b] tel que : \[\int_a^b f(x)dx = f(c)(b-a)\] Exemple avec \[\sin(x)\] sur [0,π] : \[\int_0^\pi \sin(x)dx = 2\] Ce qui correspond à \[\sin(\frac{\pi}{2}) \cdot \pi\]