Fonction intégrable
Une fonction \(f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) est dite intégrable au sens de Riemann sur \([a,b]\) si la limite des sommes de Riemann existe :
\[ \int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(c_i)(x_i – x_{i-1}) \]
où \((c_i)_{i=1}^n\) sont des points arbitraires dans \([x_{i-1}, x_i]\).
Théorème fondamental : Une fonction bornée sur \([a,b]\) est intégrable si et seulement si elle est continue presque partout.
Démonstration :
Soit \(f\) bornée sur \([a,b]\). Notons \(D_f\) l’ensemble des points de discontinuité de \(f\).
1) Si \(f\) est intégrable, alors pour tout \(\epsilon > 0\), il existe une partition \(P\) telle que :
\[ \overline{S}(f,P) – \underline{S}(f,P) < \epsilon \]
où \(\overline{S}\) et \(\underline{S}\) sont les sommes de Darboux.
2) Par le théorème de caractérisation de Lebesgue, \(D_f\) est de mesure nulle.
Exemples sur Fonction intégrable
1) Fonction continue : Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est intégrable. Exemple : \(f(x) = x^2\) sur \([0,1]\) \[ \int_0^1 x^2dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} \] 2) Fonction de Dirichlet : \[ D(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{si } x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases} \] Cette fonction n’est pas intégrable sur \([0,1]\) car elle est discontinue en tout point. 3) Fonction en escalier : \[ f(x) = \sum_{k=1}^n a_k\chi_{[x_{k-1},x_k]} \] où \(\chi\) est la fonction caractéristique. Cette fonction est intégrable et : \[ \int_a^b f(x)dx = \sum_{k=1}^n a_k(x_k – x_{k-1}) \]