Théorème fondamental de l’analyse pour le calcul intégral
Le théorème fondamental de l’analyse établit le lien entre la dérivation et l’intégration. Il se compose de deux parties essentielles :
Première partie : Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) et soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a,b]\). Alors :
\[ \int_a^b f(x)dx = F(b) – F(a) \]Deuxième partie : Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\), alors la fonction \(G\) définie par :
\[ G(x) = \int_a^x f(t)dt \] est dérivable sur \(I\) et \(G'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in I\).Démonstration :
Pour la première partie : Soit \(h(x) = F(x) – \int_a^x f(t)dt\) \[ h'(x) = F'(x) – f(x) = 0 \] Donc \(h\) est constante, et : \[ F(b) – F(a) = \int_a^b f(x)dx \] Pour la deuxième partie : \[ \lim_{h \to 0} \frac{G(x+h) – G(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)dt = f(x) \]Exemples sur le théorème fondamental de l’analyse pour le calcul intégral
Exemple 1 :
Calculons \(\int_0^1 x^2dx\) \[ \int_0^1 x^2dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} – 0 = \frac{1}{3} \]Exemple 2 :
Soit \(G(x) = \int_0^x e^{t^2}dt\) \[ G'(x) = e^{x^2} \]Exemple 3 :
Pour \(\int_0^{\pi/2} \sin(x)dx\) : \[ \int_0^{\pi/2} \sin(x)dx = [-\cos(x)]_0^{\pi/2} = -\cos(\pi/2) + \cos(0) = 0 + 1 = 1 \]