Théorème de la moyenne
Le théorème de la moyenne, également connu sous le nom de théorème des accroissements finis, est un résultat fondamental en analyse mathématique.
Soit \(f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction vérifiant les conditions suivantes :
– \(f\) est continue sur \([a,b]\)
– \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\)
Alors il existe au moins un point \(c\) dans \(]a,b[\) tel que :
\[ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Démonstration :
Considérons la fonction auxiliaire :
\[ h(x) = f(x) – f(a) – \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \]
Cette fonction vérifie :
1. \(h(a) = h(b) = 0\)
2. \(h\) est continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\)
D’après le théorème de Rolle, il existe \(c \in ]a,b[\) tel que \(h'(c) = 0\)
Or, \[ h'(x) = f'(x) – \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Donc \[ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Exemples sur le théorème de la moyenne
Exemple 1 : Soit \(f(x) = x^2\) sur \([0,1]\) \[ \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = 1 \] Il existe \(c \in ]0,1[\) tel que \(f'(c) = 1\) En effet, \(f'(x) = 2x\) et \(f'(\frac{1}{2}) = 1\) Exemple 2 : Pour \(f(x) = \sin(x)\) sur \([0,\frac{\pi}{2}]\) \[ \frac{f(\frac{\pi}{2})-f(0)}{\frac{\pi}{2}-0} = \frac{2}{\pi} \] Il existe \(c \in ]0,\frac{\pi}{2}[\) tel que \(f'(c) = \frac{2}{\pi}\) Comme \(f'(x) = \cos(x)\), on a \(c = \arccos(\frac{2}{\pi})\)