Intégration par parties

L’intégration par parties est une technique fondamentale en calcul intégral, permettant de transformer une intégrale complexe en une forme plus simple à calculer.

Intégration par parties

La formule d’intégration par parties découle de la dérivation du produit de deux fonctions. Pour deux fonctions \(u\) et \(v\) continues et dérivables, on a : \[ \int u\,dv = uv – \int v\,du \] où :
  • u est la première fonction à choisir
  • dv représente la différentielle de la seconde fonction
  • v est la primitive de dv
  • du est la différentielle de u
Le choix judicieux de u et dv est crucial pour la réussite de l’intégration.

Exemples sur l’intégration par parties

1. Calculons \(\int x\cos(x)\,dx\)
Posons : \[ u = x \quad \text{et} \quad dv = \cos(x)\,dx \] Alors : \[ du = dx \quad \text{et} \quad v = \sin(x) \] D’où : \[ \int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) – \int \sin(x)\,dx = x\sin(x) + \cos(x) + C \] 2. Calculons \(\int \ln(x)\,dx\)
Posons : \[ u = \ln(x) \quad \text{et} \quad dv = dx \] Alors : \[ du = \frac{1}{x}dx \quad \text{et} \quad v = x \] D’où : \[ \int \ln(x)\,dx = x\ln(x) – \int 1\,dx = x\ln(x) – x + C \] 3. Calculons \(\int x e^x\,dx\)
Posons : \[ u = x \quad \text{et} \quad dv = e^x\,dx \] Alors : \[ du = dx \quad \text{et} \quad v = e^x \] D’où : \[ \int x e^x\,dx = xe^x – \int e^x\,dx = xe^x – e^x + C \]