Changement de variable
Le changement de variable consiste à substituer une variable par une autre pour simplifier une expression mathématique.
Soit une fonction \(f(x)\), on pose \(u = g(x)\) où \(g\) est une fonction dérivable. Alors :
\[\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]
Règles importantes :
1. Pour les intégrales : \[\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du\] où \(u = g(x)\)
2. Pour les équations différentielles : \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]
Exemples sur le changement de variable
Exemple 1 : Calculer \[\int \sin(x^2)2x dx\] Posons \(u = x^2\), alors \(du = 2x dx\) \[\int \sin(x^2)2x dx = \int \sin(u)du = -\cos(u) + C = -\cos(x^2) + C\] Exemple 2 : Résoudre \[\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 0\] Posons \(p = \frac{dy}{dx}\), alors \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dp}{dx}\) L’équation devient : \[\frac{dp}{dx} + p = 0\] Solution : \[p = Ce^{-x}\] donc \[y = -Ce^{-x} + K\]