L’intégration par substitution est une technique fondamentale en calcul intégral permettant de simplifier le calcul d’intégrales complexes en effectuant un changement de variable judicieux.
Intégration par substitution
Soit une intégrale de la forme \[\int f(g(x))g'(x)dx\]
En posant la substitution u = g(x), on obtient :
\[du = g'(x)dx\]
L’intégrale devient alors :
\[\int f(u)du\]
La formule générale est donc :
\[\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du\]
Après résolution, on substitue u par g(x) dans le résultat final.
Exemples sur l’intégration par substitution
Exemple 1:
Calculons \[\int \cos(2x)dx\]
Posons \(u = 2x\), donc \(du = 2dx\) ou \(dx = \frac{du}{2}\)
L’intégrale devient : \[\frac{1}{2}\int \cos(u)du = \frac{1}{2}\sin(u) + C = \frac{1}{2}\sin(2x) + C\]
Exemple 2:
Calculons \[\int x\sqrt{1+x^2}dx\]
Posons \(u = 1+x^2\), donc \(du = 2xdx\) ou \(xdx = \frac{du}{2}\)
L’intégrale devient : \[\frac{1}{2}\int \sqrt{u}du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2} + C\]