Intégrales rationnelles

Les intégrales rationnelles constituent un domaine fondamental du calcul intégral, permettant de résoudre des intégrales de fonctions rationnelles, c’est-à-dire des quotients de polynômes.

Les intégrales rationnelles sont de la forme

\int \frac{P (x)}{Q (x)} d x

où P(x) et Q(x) sont des polynômes. La décomposition en éléments simples est la technique principale pour résoudre ces intégrales. Elle suit ces étapes : 1. Division euclidienne si deg(P) ≥ deg(Q) 2. Factorisation de Q(x) 3. Décomposition en éléments simples selon les facteurs :

\frac{P (x)}{Q (x)} = \sum \frac{A_{i}}{(x - a)^{k}} + \sum \frac{B x + C}{x^{2} + p x + q}

Types de facteurs : – Racines réelles simples :

\frac{A}{x - a}

– Racines réelles multiples :

\frac{A_{1}}{x - a} + \frac{A_{2}}{(x - a)^{2}} + \dots + \frac{A_{k}}{(x - a)^{k}}

– Racines complexes conjuguées :

\frac{B x + C}{x^{2} + p x + q}

Exemples sur Intégrales rationnelles

Exemple 1:

\int \frac{1}{x^{2} - 1} d x

Solution :

\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})

\int \frac{1}{x^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} \ln | \frac{x - 1}{x + 1} | + C

Exemple 2:

\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x

Solution :

\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C

Exemple 3:

\int \frac{1}{x^{2} (x + 1)} d x

Solution :

\frac{1}{x^{2} (x + 1)} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

\int \frac{1}{x^{2} (x + 1)} d x = - \frac{1}{x} + \ln | x | - \ln | x + 1 | + C

Exemple 4:

\int \frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x} d x

Solution :

\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x} = \frac{x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)} = \frac{1}{x}

\int \frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x} d x = \ln | x | + C

Exemple 5:

\int \frac{1}{x^{3} - x^{2}} d x

Solution :

\frac{1}{x^{3} - x^{2}} = \frac{1}{x^{2} (x - 1)} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x (x - 1)}

\int \frac{1}{x^{3} - x^{2}} d x = - \frac{1}{x} + \ln | \frac{x}{x - 1} | + C

Exemple 6:

\int \frac{x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x^{2} + 1)} d x

Solution :

\frac{x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x^{2} + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}

Après décomposition :

= \frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x^{2} + 1}

\int \frac{x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x^{2} + 1)} d x = \ln | x + 1 | + \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C

Intégrales rationnelles

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