Les intégrales trigonométriques constituent un domaine fascinant du calcul intégral, permettant de résoudre des problèmes complexes impliquant des fonctions trigonométriques. Maîtriser ces intégrales est essentiel pour tout étudiant en mathématiques avancées.

Intégrales trigonométriques


Les intégrales trigonométriques se résolvent généralement par différentes méthodes : 1. Substitutions trigonométriques \[ \int \sin^n x \cos^m x \, dx \] 2. Formules de réduction \[ \sin^2 x = \frac{1 – \cos(2x)}{2} \] \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \] 3. Intégration par parties \[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \] 4. Formules d’Euler \[ e^{ix} = \cos x + i\sin x \] Les cas particuliers importants incluent : \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \] \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \] \[ \int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C \] \[ \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C \]

Exemples sur Intégrales trigonométriques


Exemple 1: Calculons \[ \int \sin^2 x \, dx \] Solution: \[ \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 – \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{x}{2} – \frac{\sin(2x)}{4} + C \] Exemple 2: Évaluons \[ \int \sin^3 x \, dx \] Solution: \[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x (1-\cos^2 x) \, dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C \] Exemple 3: Calculons \[ \int \sin x \cos x \, dx \] Solution: \[ \int \sin x \cos x \, dx = \int \frac{\sin(2x)}{2} \, dx = -\frac{\cos(2x)}{4} + C \] Exemple 4: Résolvons \[ \int \frac{dx}{\sin x \cos x} \, dx \] Solution: \[ \int \frac{dx}{\sin x \cos x} = \int \sec x \csc x \, dx = \ln|\tan x| + C \] Exemple 5: Évaluons \[ \int \sin^4 x \, dx \] Solution: \[ \int \sin^4 x \, dx = \int (\frac{1-\cos(2x)}{2})^2 \, dx = \frac{3x}{8} – \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{32} + C \] Exemple 6: Calculons \[ \int \cos^3 x \sin^2 x \, dx \] Solution: \[ \begin{align*} \int \cos^3 x \sin^2 x \, dx &= \int \cos^3 x (1-\cos^2 x) \, dx \\ &= \int (\cos^3 x – \cos^5 x) \, dx \\ &= \sin x (\frac{\cos^2 x}{2} – \frac{\cos^4 x}{4}) + C \end{align*} \]