Intégrales impropres
Une intégrale impropre est une extension du concept d’intégrale définie qui permet de traiter deux types de situations :
\[ \text{Type 1 : } \int_{a}^{+\infty} f(x)dx \text{ ou } \int_{-\infty}^{b} f(x)dx \text{ ou } \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx \]
\[ \text{Type 2 : } \int_{a}^{b} f(x)dx \text{ où f présente une singularité en a ou b} \]
Définition formelle :
Pour une intégrale impropre de type 1 :
\[ \int_{a}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x)dx \]
Critères de convergence :
1. Critère de comparaison :
\[ \text{Si } 0 \leq f(x) \leq g(x) \text{ et } \int_{a}^{+\infty} g(x)dx \text{ converge} \]
\[ \text{Alors } \int_{a}^{+\infty} f(x)dx \text{ converge aussi} \]
2. Critère de Riemann :
\[ \text{Pour } p \in \mathbb{R}, \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^p} \text{ converge } \Leftrightarrow p > 1 \]
Propriétés importantes :
– Linéarité
– Relation de Chasles
– Positivité
Exemples sur les intégrales impropres
Exemple 1 : Étudions la convergence de \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2} \] Solution : \[ \int_{1}^{t} \frac{dx}{x^2} = [-\frac{1}{x}]_{1}^{t} = -\frac{1}{t} + 1 \] \[ \lim_{t \to +\infty} (-\frac{1}{t} + 1) = 1 \] L’intégrale converge vers 1. Exemple 2 : Étudions \[ \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} \] Solution : \[ \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = [2\sqrt{x}]_{0}^{1} = 2 \] L’intégrale converge. Exemple 3 : Calculons \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-x}dx \] Solution : \[ \int_{0}^{t} e^{-x}dx = [-e^{-x}]_{0}^{t} = -e^{-t} + 1 \] \[ \lim_{t \to +\infty} (-e^{-t} + 1) = 1 \] Exemple 4 : Étudions \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}dx \] Solution : Par le critère de Dirichlet, cette intégrale converge car : – \(\sin(x)\) est bornée – \(\frac{1}{x}\) est décroissante et tend vers 0 Exemple 5 : Analysons \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2} \] Solution : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2} = [\arctan(x)]_{-\infty}^{+\infty} = \pi \] Exemple 6 : Étudions \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}dx \] Solution : Par intégration par parties : \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}dx = 1 \] L’intégrale converge vers 1.