Les intégrales impropres constituent un concept fondamental en analyse mathématique, permettant d’étendre la notion d’intégrale aux fonctions présentant des singularités ou définies sur des intervalles non bornés.

Intégrales impropres


Une intégrale impropre est une extension du concept d’intégrale définie qui permet de traiter deux types de situations : \[ \text{Type 1 : } \int_{a}^{+\infty} f(x)dx \text{ ou } \int_{-\infty}^{b} f(x)dx \text{ ou } \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx \] \[ \text{Type 2 : } \int_{a}^{b} f(x)dx \text{ où f présente une singularité en a ou b} \] Définition formelle : Pour une intégrale impropre de type 1 : \[ \int_{a}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x)dx \] Critères de convergence : 1. Critère de comparaison : \[ \text{Si } 0 \leq f(x) \leq g(x) \text{ et } \int_{a}^{+\infty} g(x)dx \text{ converge} \] \[ \text{Alors } \int_{a}^{+\infty} f(x)dx \text{ converge aussi} \] 2. Critère de Riemann : \[ \text{Pour } p \in \mathbb{R}, \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^p} \text{ converge } \Leftrightarrow p > 1 \] Propriétés importantes : – Linéarité – Relation de Chasles – Positivité

Exemples sur les intégrales impropres


Exemple 1 : Étudions la convergence de \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2} \] Solution : \[ \int_{1}^{t} \frac{dx}{x^2} = [-\frac{1}{x}]_{1}^{t} = -\frac{1}{t} + 1 \] \[ \lim_{t \to +\infty} (-\frac{1}{t} + 1) = 1 \] L’intégrale converge vers 1. Exemple 2 : Étudions \[ \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} \] Solution : \[ \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = [2\sqrt{x}]_{0}^{1} = 2 \] L’intégrale converge. Exemple 3 : Calculons \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-x}dx \] Solution : \[ \int_{0}^{t} e^{-x}dx = [-e^{-x}]_{0}^{t} = -e^{-t} + 1 \] \[ \lim_{t \to +\infty} (-e^{-t} + 1) = 1 \] Exemple 4 : Étudions \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}dx \] Solution : Par le critère de Dirichlet, cette intégrale converge car : – \(\sin(x)\) est bornée – \(\frac{1}{x}\) est décroissante et tend vers 0 Exemple 5 : Analysons \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2} \] Solution : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2} = [\arctan(x)]_{-\infty}^{+\infty} = \pi \] Exemple 6 : Étudions \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}dx \] Solution : Par intégration par parties : \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}dx = 1 \] L’intégrale converge vers 1.