Les intégrales doubles sont un concept fondamental en analyse mathématique multivariable, permettant de calculer des volumes, des masses et diverses quantités physiques sur des régions du plan.
Intégrales doubles
Une intégrale double est une extension naturelle de l’intégrale simple à deux dimensions. Pour une fonction \(f(x,y)\) définie sur une région \(D\) du plan, elle est notée :
\[ \iint_D f(x,y) \, dxdy \]
Propriétés fondamentales :
1. Linéarité : \[ \iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) \, dxdy = a\iint_D f(x,y) \, dxdy + b\iint_D g(x,y) \, dxdy \]
2. Additivité par rapport au domaine : Si \(D = D_1 \cup D_2\) avec \(D_1 \cap D_2 = \emptyset\), alors : \[ \iint_D f(x,y) \, dxdy = \iint_{D_1} f(x,y) \, dxdy + \iint_{D_2} f(x,y) \, dxdy \]
Méthodes de calcul :
1. Intégrales itérées dans l’ordre \(dx\,dy\) : \[ \iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_a^b \left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy\right) dx \]
2. Intégrales itérées dans l’ordre \(dy\,dx\) : \[ \iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_c^d \left(\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx\right) dy \]
Exemples sur les intégrales doubles
Exemple 1 : Calculons l’intégrale double de \(f(x,y) = xy\) sur le rectangle \(D = [0,1] \times [0,2]\).
Solution : \[ \begin{align*} \iint_D xy \, dxdy &= \int_0^1 \left(\int_0^2 xy \, dy\right) dx \\ &= \int_0^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^2 dx \\ &= \int_0^1 2x \, dx \\ &= [x^2]_0^1 = 1 \end{align*} \]
Exemple 2 : Calculons l’intégrale double de \(f(x,y) = x^2 + y^2\) sur le disque \(D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\}\).
Solution en coordonnées polaires : \[ \begin{align*} \iint_D (x^2 + y^2) \, dxdy &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta)r \, dr\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \, dr\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{\pi}{2} \end{align*} \]
Exemple 3 : Calculons le volume sous la surface \(z = e^{-x^2-y^2}\) au-dessus du carré \([-1,1] \times [-1,1]\).
Solution : \[ \begin{align*} V &= \iint_{[-1,1]^2} e^{-x^2-y^2} \, dxdy \\ &= \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 e^{-x^2-y^2} \, dxdy \\ &= \int_{-1}^1 e^{-x^2} \left(\int_{-1}^1 e^{-y^2} \, dy\right) dx \\ &= \int_{-1}^1 e^{-x^2} \left[\sqrt{\pi}\,\text{erf}(1)\right] dx \\ &= \pi\,[\text{erf}(1)]^2 \approx 1.832 \end{align*} \]