Le calcul d’aires et de volumes par l’intégral constitue l’une des applications les plus importantes du calcul intégral en mathématiques avancées. Cette méthode permet de déterminer avec précision les aires de surfaces complexes et les volumes de solides irréguliers.
Calcul d’aires et de volumes par l’intégral
Le calcul d’une aire ou d’un volume par intégration repose sur le principe fondamental suivant :
Pour une fonction \(f(x)\) continue sur un intervalle \([a,b]\), l’aire sous la courbe est donnée par :
\[ A = \int_a^b f(x)dx \]Pour le calcul des volumes, on utilise généralement :
\[ V = \int_a^b A(x)dx \]où \(A(x)\) représente l’aire de la section transversale à la position x.
Méthodes principales :
- Intégration simple pour les aires planes
- Intégration double pour les surfaces courbes
- Intégration triple pour les volumes complexes
Formules importantes :
\[ \text{Volume de révolution} = \pi\int_a^b [f(x)]^2dx \] \[ \text{Surface de révolution} = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2}dx \]Exemples sur le calcul d’aires et de volumes par l’intégral
Exemple 1 : Calcul de l’aire sous une parabole
Calculons l’aire sous la parabole \(y = x^2\) entre \(x = 0\) et \(x = 2\).
\[ A = \int_0^2 x^2dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \text{ unités carrées} \]Exemple 2 : Volume d’un solide de révolution
Calculons le volume du solide obtenu en faisant tourner la région limitée par \(y = \sqrt{x}\) et l’axe des x, pour \(0 \leq x \leq 4\), autour de l’axe des x.
\[ V = \pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2dx = \pi\int_0^4 xdx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi \text{ unités cubes} \]Exemple 3 : Calcul d’une surface de révolution
Déterminons la surface engendrée par la rotation de la courbe \(y = \sin(x)\) sur \([0,\pi]\) autour de l’axe des x.
\[ S = 2\pi\int_0^\pi \sin(x)\sqrt{1 + \cos^2(x)}dx \]Cette intégrale peut être résolue numériquement pour obtenir \(S \approx 6.87\) unités carrées.