Les primitives usuelles constituent un élément fondamental du calcul intégral, permettant de déterminer les antidérivées des fonctions mathématiques courantes.

Primitives usuelles


Les primitives usuelles sont essentielles pour le calcul intégral. Voici les principales formules : \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \] \[ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \] \[ \int e^x dx = e^x + C \] \[ \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \] \[ \int \cos(x) dx = \sin(x) + C \] \[ \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C \] \[ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C \] Points importants à retenir : – La constante d’intégration C est toujours présente – Les primitives sont définies à une constante près – La dérivée d’une primitive redonne la fonction initiale

Exemples sur Primitives usuelles


Exemple 1 : Calculons \( \int (2x^3 + e^x – \sin(x)) dx \) Solution : \[ \int 2x^3 dx = 2\int x^3 dx = 2\cdot\frac{x^4}{4} + C_1 = \frac{x^4}{2} + C_1 \] \[ \int e^x dx = e^x + C_2 \] \[ \int -\sin(x) dx = \cos(x) + C_3 \] Donc : \[ \int (2x^3 + e^x – \sin(x)) dx = \frac{x^4}{2} + e^x + \cos(x) + C \]
Exemple 2 : Déterminons \( \int \frac{x^2+1}{x} dx \) Solution : \[ \int \frac{x^2+1}{x} dx = \int (x + \frac{1}{x}) dx = \frac{x^2}{2} + \ln|x| + C \]
Exemple 3 : Calculons \( \int (\sin^2(x) + \cos^2(x)) dx \) Solution : Sachant que \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), on a : \[ \int (\sin^2(x) + \cos^2(x)) dx = \int 1 dx = x + C \]