Tangente à une courbe
En analyse mathématique, la tangente à une courbe en un point \(M_0(x_0, f(x_0))\) est définie comme la droite passant par ce point et dont le coefficient directeur est égal à la dérivée de la fonction en ce point.
Pour une fonction \(f\) dérivable en \(x_0\), l’équation de la tangente est donnée par :
\[ y – f(x_0) = f'(x_0)(x – x_0) \]
Propriétés importantes :
• La tangente représente la meilleure approximation linéaire de la fonction au voisinage du point de contact
• Le coefficient directeur \(f'(x_0)\) donne la pente de la courbe au point \(M_0\)
• L’existence de la tangente implique la dérivabilité de la fonction au point considéré
Cas particuliers :
• Si \(f'(x_0) = 0\), la tangente est horizontale
• Si \(f'(x_0)\) n’existe pas, la courbe admet une tangente verticale ou un point singulier
• Pour une courbe paramétrique \((x(t), y(t))\), la pente de la tangente est donnée par \(\frac{y'(t)}{x'(t)}\)
Exemples sur la tangente à une courbe
Exemple 1 : Fonction polynomiale Soit \(f(x) = x^2\) au point \(x_0 = 1\) • Dérivée : \(f'(x) = 2x\) • Au point \(x_0 = 1\) : \(f'(1) = 2\) • Équation de la tangente : \(y – 1 = 2(x – 1)\) soit \(y = 2x – 1\)
Exemple 2 : Fonction trigonométrique Soit \(f(x) = \sin(x)\) au point \(x_0 = 0\) • Dérivée : \(f'(x) = \cos(x)\) • Au point \(x_0 = 0\) : \(f'(0) = 1\) • Équation de la tangente : \(y – 0 = 1(x – 0)\) soit \(y = x\)
Exemple 3 : Fonction exponentielle Soit \(f(x) = e^x\) au point \(x_0 = 0\) • Dérivée : \(f'(x) = e^x\) • Au point \(x_0 = 0\) : \(f'(0) = 1\) • Équation de la tangente : \(y – 1 = 1(x – 0)\) soit \(y = x + 1\)