Théorème de Rolle
Le théorème de Rolle, fondamental en analyse mathématique, établit que pour une fonction \(f\) définie sur un intervalle fermé \([a,b]\), si :
- \(f\) est continue sur \([a,b]\)
- \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\)
- \(f(a) = f(b)\)
Alors
il existe au moins un point \(c\) dans \(]a,b[\) tel que \(f'(c) = 0\).
La formulation mathématique rigoureuse s’écrit :
\[ \forall f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}, \text{ si } \begin{cases}
f \text{ continue sur } [a,b] \\
f \text{ dérivable sur } ]a,b[ \\
f(a) = f(b)
\end{cases} \]
\[ \text{Alors } \exists c \in ]a,b[ \text{ tel que } f'(c) = 0 \]
Interprétation géométrique :
Le théorème affirme qu’entre deux points de même ordonnée sur une courbe continue et dérivable, il existe nécessairement un point où la tangente est horizontale.
Exemples sur le Théorème de Rolle
Exemple 1 :
Considérons \(f(x) = x^2 – 2x\) sur \([-1,3]\)
- \(f\) est un polynôme donc continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\)
- \(f(-1) = 3\) et \(f(3) = 3\)
- \(f'(x) = 2x – 2\)
- Le point \(c = 1\) vérifie \(f'(1) = 0\)
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Exemple 2 :
Soit \(f(x) = \cos(x)\) sur \([0,2\pi]\)
- \(f\) est continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\)
- \(f(0) = f(2\pi) = 1\)
- \(f'(x) = -\sin(x)\)
- \(f'(\pi) = 0\)
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Exemple 3 :
Étudions \(f(x) = x^3 – 3x\) sur \([-2,2]\)
- \(f\) est un polynôme donc continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\)
- \(f(-2) = -2\) et \(f(2) = -2\)
- \(f'(x) = 3x^2 – 3\)
- Les points \(c = -1\) et \(c = 1\) vérifient \(f'(c) = 0\)
Ce dernier exemple montre que le théorème garantit l’existence d’au moins un point \(c\), mais qu’il peut en exister plusieurs.
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