Taux de variation
Le taux de variation est un concept fondamental en mathématiques, utilisé pour quantifier la rapidité à laquelle une grandeur change par rapport à une autre. Il est crucial dans de nombreux domaines, de l’analyse économique à la physique, pour comprendre et modéliser l’évolution des phénomènes. Ce concept s’étend au-delà des simples variations linéaires, englobant des variations plus complexes et des analyses plus précises.
Taux de variation
Le taux de variation mesure la vitesse de changement d’une variable par rapport à une autre. Il peut être instantané, comme la dérivée d’une fonction, ou moyen sur un intervalle donné. Un taux de variation positif indique une augmentation, tandis qu’un taux négatif indique une diminution.
Il est essentiel de distinguer le taux de variation instantané, qui correspond à la dérivée de la fonction à un point précis, et le taux de variation moyen, qui correspond à la pente de la droite passant par deux points de la fonction sur un intervalle.
Formules importantes :
Le taux de variation moyen sur un intervalle [a, b] est donné par :
$\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$
La dérivée en un point x représente le taux de variation instantané :
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$
Exemples sur le Taux de variation
Exemple 1
Considérons la fonction $f(x) = x^2$. Calculer le taux de variation moyen entre x = 1 et x = 3.
Le taux de variation moyen est :
$\frac{f(3) – f(1)}{3 – 1} = \frac{3^2 – 1^2}{3 – 1} = \frac{8}{2} = 4$
Exemple 2
Calculer le taux de variation instantané de la fonction $f(x) = 2x^3 – 5x$ au point x = 2.
La dérivée de f(x) est $f'(x) = 6x^2 – 5$. Au point x = 2, le taux de variation instantané est :
$f'(2) = 6(2)^2 – 5 = 24 – 5 = 19$
Exemple 3
Un objet se déplace selon la fonction $s(t) = t^3 – 4t^2 + 5t$. Calculer le taux de variation instantané de la position à t = 3.
La dérivée de s(t) est $s'(t) = 3t^2 – 8t + 5$. A t = 3, le taux de variation instantané est :
$s'(3) = 3(3)^2 – 8(3) + 5 = 27 – 24 + 5 = 8$