Formules de Dérivation
Les formules de dérivation fondamentales sont :
- Dérivée d’une constante : \[ (c)’ = 0 \]
- Dérivée de la fonction identité : \[ (x)’ = 1 \]
- Dérivée d’une puissance : \[ (x^n)’ = nx^{n-1} \]
- Dérivée d’une somme : \[ (u + v)’ = u’ + v’ \]
- Dérivée d’un produit : \[ (uv)’ = u’v + uv’ \]
- Dérivée d’un quotient : \[ (\frac{u}{v})’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \]
- Dérivée de la composée : \[ (f \circ g)’ = (f’ \circ g) \times g’ \]
Exemples sur les Formules de Dérivation
Exemple 1 : Dérivée d’un polynôme
\[ f(x) = 3x^4 + 2x^3 – 5x + 1 \] \[ f'(x) = 12x^3 + 6x^2 – 5 \]Exemple 2 : Dérivée d’un quotient
\[ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 2} \] \[ f'(x) = \frac{(2x)(x-2) – (x^2+1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2-4x-(x^2+1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2} \]Exemple 3 : Dérivée d’une fonction composée
\[ f(x) = \sin(x^2) \] \[ f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x \]