Étude des variations

Étude des variations

L’étude des variations d’une fonction est fondamentale en analyse mathématique. Elle permet de :
  • Déterminer les intervalles de croissance et décroissance
  • Identifier les extremums locaux et globaux
  • Analyser le comportement asymptotique
Pour étudier les variations d’une fonction \(f\), on suit ces étapes :
  1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\)
  2. Calculer la dérivée \(f'(x)\)
  3. Résoudre l’équation \(f'(x) = 0\)
  4. Étudier le signe de la dérivée
  5. Dresser le tableau de variations
La dérivée nous donne : \[ f'(x) > 0 \Rightarrow f \text{ croissante} \] \[ f'(x) < 0 \Rightarrow f \text{ décroissante} \]

Exemples sur l’étude des variations

Exemple 1: Soit \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 2\)

Question 1.1: Déterminer \(f'(x)\)

\[ f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x-2) \]

Question 1.2: Étudier le signe de \(f'(x)\)

\[ x < 0 : f'(x) < 0 \] \[ 0 < x < 2 : f'(x) < 0 \] \[ x > 2 : f'(x) > 0 \]

Question 1.3: Dresser le tableau de variations

\[ \begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & 0 & 2 & +\infty \\ \hline f'(x) & – & – & + & \\ \hline f(x) & +\infty \searrow & 2 \searrow & -2 \nearrow & +\infty \\ \hline \end{array} \]

Exemple 2: Soit \(f(x) = \frac{x}{x^2+1}\)

Question 2.1: Calculer \(f'(x)\)

\[ f'(x) = \frac{(x^2+1) – 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \]

Question 2.2: Déterminer les points critiques

\[ f'(x) = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \]

Question 2.3: Établir le tableau de variations

\[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & -1 & 0 & 1 & +\infty \\ \hline f'(x) & + & 0 & + & 0 & – \\ \hline f(x) & 0 \nearrow & \frac{1}{2} \nearrow & 0 \nearrow & \frac{1}{2} \searrow & 0 \\ \hline \end{array} \]