Recherche d’extremums

Recherche d’extremums

La recherche d’extremums est une technique fondamentale en analyse mathématique qui permet de déterminer les valeurs maximales et minimales d’une fonction. Les étapes essentielles sont :
  • Déterminer le domaine de définition de la fonction
  • Calculer la dérivée première \(f'(x)\)
  • Résoudre l’équation \(f'(x) = 0\)
  • Étudier les points critiques et les bornes du domaine
Pour confirmer la nature d’un extremum, on peut utiliser :
  • Le test de la dérivée première : \[f'(x) < 0 \rightarrow \text{décroissance}, f'(x) > 0 \rightarrow \text{croissance}\]
  • Le test de la dérivée seconde : \[f »(x_0) > 0 \rightarrow \text{minimum}, f »(x_0) < 0 \rightarrow \text{maximum}\]

Exemples sur la recherche d’extremums

Exemple 1 : Fonction polynomiale Soit \(f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 5\) Q1) Calculer \(f'(x)\)

Solution :

\[f'(x) = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x^2 – 2x – 3) = 3(x-3)(x+1)\] Q2) Déterminer les points critiques

Solution :

\[f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1 \text{ ou } x = 3\] Q3) Calculer \(f »(x)\)

Solution :

\[f »(x) = 6x – 6 = 6(x-1)\] Q4) Classifier les points critiques

Solution :

\[f »(-1) = -12 < 0 \rightarrow \text{Maximum local en } x = -1\] \[f''(3) = 12 > 0 \rightarrow \text{Minimum local en } x = 3\]
Exemple 2 : Fonction rationnelle Soit \(f(x) = \frac{x^2+1}{x-2}\) Q1) Déterminer le domaine de définition

Solution :

\[\mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\] Q2) Calculer \(f'(x)\)

Solution :

\[f'(x) = \frac{2x(x-2)-(x^2+1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}\] Q3) Trouver les points critiques

Solution :

\[x^2-4x-1 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{5}\] Q4) Déterminer la nature des extremums

Solution :

\[x = 2 – \sqrt{5} \rightarrow \text{Minimum local}\] \[x = 2 + \sqrt{5} \rightarrow \text{Maximum local}\]