Points critiques
Les points critiques d’une fonction différentiable \(f : U \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) sont les points où le gradient s’annule :
\[ \nabla f(x) = \vec{0} \]
Caractéristiques principales :
- Un point critique peut être :
- Un minimum local
- Un maximum local
- Un point selle
- La matrice hessienne \(H_f(x)\) permet de classifier ces points : \[ H_f(x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix} \]
- Classification selon les valeurs propres \(\lambda_i\) :
- Si \(\lambda_i > 0\) : minimum local
- Si \(\lambda_i < 0\) : maximum local
- Si valeurs de signes différents : point selle
Exemples sur les points critiques
Exemple 1 : Soit \(f(x,y) = x^2 + y^2 – 2xy\) a) Trouver les points critiques : \[ \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 2x – 2y = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y – 2x = 0 \end{cases} \] Solution : \((0,0)\) b) Calculer la matrice hessienne : \[ H_f = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \] c) Déterminer les valeurs propres : \[ \lambda_1 = 4, \lambda_2 = 0 \] d) Conclusion : Point selle dégénéré
Exemple 2 : Soit \(f(x,y) = x^2 + 2y^2\) a) Points critiques : \[ \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 2x = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 4y = 0 \end{cases} \] Solution : \((0,0)\) b) Matrice hessienne : \[ H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \] c) Valeurs propres : \[ \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4 \] d) Conclusion : Minimum local strict