Convexité/Concavité
La convexité et la concavité sont des propriétés fondamentales en analyse mathématique qui caractérisent la forme d’une fonction.
- Une fonction \(f\) est convexe sur un intervalle \(I\) si pour tout \(x_1, x_2 \in I\) et \(t \in [0,1]\) : \[f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\]
- Une fonction \(f\) est concave sur un intervalle \(I\) si pour tout \(x_1, x_2 \in I\) et \(t \in [0,1]\) : \[f(tx_1 + (1-t)x_2) \geq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\]
- Pour une fonction deux fois dérivable :
- Si \(f »(x) \geq 0\) sur \(I\), alors \(f\) est convexe sur \(I\)
- Si \(f »(x) \leq 0\) sur \(I\), alors \(f\) est concave sur \(I\)
- L’épigraphe d’une fonction convexe est un ensemble convexe
- Une fonction est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante
Exemples sur Convexité/Concavité
Exemple 1 : Étude de la fonction exponentielle 1) Montrer que la fonction \(f(x) = e^x\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
Solution : \[f'(x) = e^x\] \[f »(x) = e^x > 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}\] Donc \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). 2) Vérifier l’inégalité de Jensen pour \(x_1 = 0\) et \(x_2 = 2\) avec \(t = \frac{1}{2}\).
Solution : \[f(\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 2) = e^1 = e\] \[\frac{1}{2}f(0) + \frac{1}{2}f(2) = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot e^2 > e\] 3) Démontrer que \(e^{\frac{x+y}{2}} \leq \frac{e^x + e^y}{2}\).
Solution : C’est une application directe de la convexité avec \(t = \frac{1}{2}\). 4) Prouver que \(e^x \geq 1 + x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Solution : La droite \(y = 1 + x\) est la tangente à \(e^x\) en \(x = 0\). Par convexité, le graphe est au-dessus de ses tangentes.
Exemple 2 : Étude de la fonction logarithme 1) Démontrer que \(f(x) = \ln(x)\) est concave sur \(]0,+\infty[\).
Solution : \[f'(x) = \frac{1}{x}\] \[f »(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \text{ pour } x > 0\] Donc \(f\) est concave sur \(]0,+\infty[\). 2) Prouver l’inégalité de Jensen pour \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 4\) avec \(t = \frac{1}{2}\).
Solution : \[\ln(\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 4) = \ln(2.5)\] \[\frac{1}{2}\ln(1) + \frac{1}{2}\ln(4) = \frac{1}{2}\ln(4) < \ln(2.5)\] 3) Démontrer que \(\ln(\frac{x+y}{2}) \geq \frac{\ln(x) + \ln(y)}{2}\).
Solution : C’est une application directe de la concavité avec \(t = \frac{1}{2}\). 4) Prouver que \(\ln(x) \leq x-1\) pour tout \(x > 0\).
Solution : La droite \(y = x-1\) est la tangente à \(\ln(x)\) en \(x = 1\). Par concavité, le graphe est en-dessous de ses tangentes.