Points d’inflexion
Les points d’inflexion sont des points particuliers sur la courbe représentative d’une fonction où la concavité change. Autrement dit, c’est là que la courbe passe d’une forme convexe à concave ou inversement. Mathématiquement, un point d’inflexion se caractérise par le fait que la dérivée seconde de la fonction s’annule et change de signe.
Pour identifier un point d’inflexion, on suit généralement ces étapes :
- Calculer la dérivée seconde \( f »(x) \) de la fonction \( f(x) \).
- Résoudre l’équation \( f »(x) = 0 \) pour trouver les valeurs potentielles de \( x \).
- Vérifier le signe de \( f »(x) \) autour de ces valeurs pour déterminer si la concavité change.
Exemples sur Points d’inflexion
Exemple 1 : Considérons la fonction \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \).
Premièrement, calculons la dérivée première de \( f(x) \) : \( f'(x) = 3x^2 – 6x \).
Ensuite, calculons la dérivée seconde : \( f »(x) = 6x – 6 \).
Pour trouver les points d’inflexion, résolvons \( f »(x) = 0 \) : \( 6x – 6 = 0 \) donne \( x = 1 \).
Examinons le signe de \( f »(x) \) autour de \( x = 1 \) : pour \( x < 1 \), \( f''(x) < 0 \) (concave) et pour \( x > 1 \), \( f »(x) > 0 \) (convexe). Ainsi, \( x = 1 \) est bien un point d’inflexion.
Exemple 2 : Examinons maintenant la fonction \( g(x) = e^x – x^2 \).
Calculons la dérivée première de \( g(x) \) : \( g'(x) = e^x – 2x \).
Puis, la dérivée seconde : \( g »(x) = e^x – 2 \).
Pour trouver les points d’inflexion, résolvons \( g »(x) = 0 \) : \( e^x – 2 = 0 \) donne \( x = \ln(2) \).
Examinons le signe de \( g »(x) \) autour de \( x = \ln(2) \) : pour \( x < \ln(2) \), \( g''(x) < 0 \) (concave) et pour \( x > \ln(2) \), \( g »(x) > 0 \) (convexe). Par conséquent, \( x = \ln(2) \) est un point d’inflexion.