Tableau de variations
Le tableau de variations est un outil essentiel en analyse mathématique qui permet de décrire le comportement d’une fonction sur un intervalle donné. Il résume les informations sur les limites, les extremums locaux, les points d’inflexion et la monotonie de la fonction.
La construction d’un tableau de variations implique plusieurs étapes clés :
- Déterminer l’ensemble de définition de la fonction.
- Calculer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.
- Trouver les points où la dérivée de la fonction s’annule ou n’existe pas.
- Étudier le signe de la dérivée entre ces points pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.
- Identifier les extremums locaux et les points d’inflexion.
Ces informations sont ensuite organisées dans un tableau structuré qui facilite la visualisation du comportement global de la fonction.
Exemples sur Tableau de variations
Exemple 1 : Considérons la fonction \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \).
L’ensemble de définition de \( f(x) \) est \( \mathbb{R} \).
Calculons les limites aux bornes de l’ensemble de définition : \( \lim_{{x \to -\infty}} f(x) = -\infty \) et \( \lim_{{x \to +\infty}} f(x) = +\infty \).
Calculons la dérivée première de \( f(x) \) : \( f'(x) = 3x^2 – 6x \).
Pour trouver les points critiques, résolvons \( f'(x) = 0 \) : \( 3x^2 – 6x = 0 \) donne \( x = 0 \) ou \( x = 2 \).
Étudions le signe de \( f'(x) \) sur les intervalles \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \) et \( (2, +\infty) \) :
- Pour \( x \in (-\infty, 0) \), \( f'(x) > 0 \) (la fonction est croissante).
- Pour \( x \in (0, 2) \), \( f'(x) < 0 \) (la fonction est décroissante).
- Pour \( x \in (2, +\infty) \), \( f'(x) > 0 \) (la fonction est croissante).
Calculons la dérivée seconde de \( f(x) \) : \( f »(x) = 6x – 6 \).
Pour trouver les points d’inflexion, résolvons \( f »(x) = 0 \) : \( 6x – 6 = 0 \) donne \( x = 1 \).
Examinons le signe de \( f »(x) \) autour de \( x = 1 \) : pour \( x < 1 \), \( f''(x) < 0 \) (concave) et pour \( x > 1 \), \( f »(x) > 0 \) (convexe). Ainsi, \( x = 1 \) est bien un point d’inflexion.
Exemple 2 : Examinons maintenant la fonction \( g(x) = e^x – x^2 \).
L’ensemble de définition de \( g(x) \) est \( \mathbb{R} \).
Calculons les limites aux bornes de l’ensemble de définition : \( \lim_{{x \to -\infty}} g(x) = +\infty \) et \( \lim_{{x \to +\infty}} g(x) = +\infty \).
Calculons la dérivée première de \( g(x) \) : \( g'(x) = e^x – 2x \).
Pour trouver les points critiques, résolvons \( g'(x) = 0 \). Cette équation n’a pas de solution analytique simple, mais nous pouvons utiliser des méthodes numériques pour approximer les solutions.
Étudions le signe de \( g'(x) \) autour des points critiques pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.
Calculons la dérivée seconde de \( g(x) \) : \( g »(x) = e^x – 2 \).
Pour trouver les points d’inflexion, résolvons \( g »(x) = 0 \) : \( e^x – 2 = 0 \) donne \( x = \ln(2) \).
Examinons le signe de \( g »(x) \) autour de \( x = \ln(2) \) : pour \( x < \ln(2) \), \( g''(x) < 0 \) (concave) et pour \( x > \ln(2) \), \( g »(x) > 0 \) (convexe). Par conséquent, \( x = \ln(2) \) est un point d’inflexion.