Recherche des points stationnaires
La recherche des points stationnaires est un processus crucial en analyse mathématique qui consiste à trouver les points où la dérivée d’une fonction s’annule ou n’existe pas. Ces points sont importants car ils peuvent correspondre à des extremums locaux (maxima ou minima) ou à des points de rebroussement.
Pour rechercher les points stationnaires d’une fonction \( f(x) \), on suit généralement ces étapes :
- Calculer la dérivée première de la fonction \( f(x) \), notée \( f'(x) \).
- Résoudre l’équation \( f'(x) = 0 \) pour trouver les valeurs de \( x \) où la dérivée s’annule.
- Identifier les points où la dérivée n’existe pas, généralement en examinant les points de discontinuité ou les points où la fonction n’est pas dérivable.
- Vérifier la nature de chaque point trouvé (maximum local, minimum local, point de rebroussement) en utilisant la dérivée seconde ou en analysant le signe de la dérivée première autour de ces points.
Ces points stationnaires jouent un rôle fondamental dans l’étude du comportement des fonctions et sont souvent utilisés dans divers domaines tels que l’optimisation, la physique et l’économie.
Exemples sur Recherche des points stationnaires
Exemple 1 : Considérons la fonction \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \).
Premièrement, calculons la dérivée première de \( f(x) \) : \( f'(x) = 3x^2 – 6x \).
Pour trouver les points stationnaires, résolvons \( f'(x) = 0 \) : \( 3x^2 – 6x = 0 \) donne \( x = 0 \) ou \( x = 2 \).
Calculons la dérivée seconde de \( f(x) \) : \( f »(x) = 6x – 6 \).
Examinons la nature de chaque point stationnaire en utilisant la dérivée seconde :
- Pour \( x = 0 \), \( f »(0) = -6 < 0 \), donc \( x = 0 \) est un maximum local.
- Pour \( x = 2 \), \( f »(2) = 6 > 0 \), donc \( x = 2 \) est un minimum local.
Exemple 2 : Examinons maintenant la fonction \( g(x) = e^x – x^2 \).
Premièrement, calculons la dérivée première de \( g(x) \) : \( g'(x) = e^x – 2x \).
Pour trouver les points stationnaires, résolvons \( g'(x) = 0 \). Cette équation n’a pas de solution analytique simple, mais nous pouvons utiliser des méthodes numériques pour approximer les solutions. Par exemple, en utilisant la méthode de Newton, nous trouvons deux solutions approchées : \( x \approx 0.259 \) et \( x \approx 2.153 \).
Calculons la dérivée seconde de \( g(x) \) : \( g »(x) = e^x – 2 \).
Examinons la nature de chaque point stationnaire en utilisant la dérivée seconde :
- Pour \( x \approx 0.259 \), \( g »(0.259) \approx -1.48 < 0 \), donc \( x \approx 0.259 \) est un maximum local.
- Pour \( x \approx 2.153 \), \( g »(2.153) \approx 5.84 > 0 \), donc \( x \approx 2.153 \) est un minimum local.