Asymptotes
En mathématiques, une asymptote est une droite ou une courbe qui approche infiniment près d’une autre courbe sans jamais la toucher. Les asymptotes sont souvent utilisées pour décrire le comportement d’une fonction lorsque la variable indépendante tend vers l’infini ou vers une valeur particulière.
Il existe trois types principaux d’asymptotes :
- Asymptotes horizontales : Elles se produisent lorsque la fonction tend vers une valeur constante lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \).
- Asymptotes verticales : Elles se produisent lorsque la fonction tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \) à mesure que \( x \) s’approche d’une valeur finie.
- Asymptotes obliques : Elles se produisent lorsque la fonction tend vers une droite non horizontale lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \).
Pour déterminer les asymptotes d’une fonction, on utilise souvent des limites. Par exemple, pour une fonction \( f(x) \), on peut trouver une asymptote horizontale en calculant \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) \).
Exemples sur Asymptotes
Exemple 1 : Asymptote horizontale
Considérons la fonction \( f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 – 1} \). Pour trouver l’asymptote horizontale, on calcule la limite lorsque \( x \) tend vers l’infini :
\[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 – 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1 – \frac{1}{x^2}} = 2 \]
Ainsi, la droite \( y = 2 \) est une asymptote horizontale de la fonction \( f(x) \).
Exemple 2 : Asymptote verticale
Considérons la fonction \( g(x) = \frac{1}{x – 2} \). Pour trouver les asymptotes verticales, on cherche les valeurs de \( x \) pour lesquelles le dénominateur s’annule :
\[ x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \]
En calculant la limite lorsque \( x \) tend vers 2, on obtient :
\[ \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x – 2} = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x – 2} = +\infty \]
Ainsi, la droite \( x = 2 \) est une asymptote verticale de la fonction \( g(x) \).