Ensemble convexe
En mathématiques, un ensemble convexe est un ensemble de points dans un espace vectoriel où, pour toute paire de points dans l’ensemble, le segment de droite les reliant est entièrement contenu dans l’ensemble. Formellement, un ensemble \( C \subseteq \mathbb{R}^n \) est convexe si pour tout \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \in C \) et tout \( \lambda \in [0, 1] \), on a :
\[ \lambda \mathbf{x} + (1 – \lambda) \mathbf{y} \in C \]
Les ensembles convexes jouent un rôle central en optimisation, en analyse fonctionnelle et en géométrie. Voici quelques propriétés importantes :
- Intersection de convexes : L’intersection de deux ensembles convexes est également un ensemble convexe.
- Combinaison convexe : Une combinaison linéaire de points d’un ensemble convexe, avec des coefficients positifs et de somme 1, reste dans l’ensemble.
- Enveloppe convexe : L’enveloppe convexe d’un ensemble est le plus petit ensemble convexe contenant cet ensemble.
Les ensembles convexes sont utilisés dans de nombreux domaines, notamment :
- Optimisation convexe : Les problèmes d’optimisation sur des ensembles convexes ont des propriétés de convergence et de solution uniques.
- Géométrie algorithmique : Ils sont utilisés pour résoudre des problèmes de partitionnement et de localisation.
- Théorie des jeux : Les ensembles convexes modélisent les stratégies et les espaces de décision.
Exemples sur Ensemble convexe
Exemple 1 : Boule unité dans \( \mathbb{R}^2 \)
La boule unité dans \( \mathbb{R}^2 \), définie par \( B = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 \} \), est un ensemble convexe. Pour tout \( \mathbf{a} = (a_1, a_2) \) et \( \mathbf{b} = (b_1, b_2) \) dans \( B \), et pour tout \( \lambda \in [0, 1] \), on a :
\[ \lambda \mathbf{a} + (1 – \lambda) \mathbf{b} = (\lambda a_1 + (1 – \lambda) b_1, \lambda a_2 + (1 – \lambda) b_2) \]
En vérifiant que ce point appartient à \( B \) :
\[ (\lambda a_1 + (1 – \lambda) b_1)^2 + (\lambda a_2 + (1 – \lambda) b_2)^2 \leq \lambda (a_1^2 + a_2^2) + (1 – \lambda) (b_1^2 + b_2^2) \leq \lambda \cdot 1 + (1 – \lambda) \cdot 1 = 1 \]
Ainsi, \( B \) est bien convexe.
Exemple 2 : Polygone convexe
Un polygone dans \( \mathbb{R}^2 \) est convexe si, pour toute paire de points à l’intérieur du polygone, le segment de droite les reliant est entièrement contenu dans le polygone. Par exemple, un carré ou un triangle sont des polygones convexes.
Considérons un triangle défini par ses sommets \( \mathbf{A} = (0, 0) \), \( \mathbf{B} = (1, 0) \), et \( \mathbf{C} = (0, 1) \). Pour tout point \( \mathbf{P} \) et \( \mathbf{Q} \) dans le triangle, et pour tout \( \lambda \in [0, 1] \), le point \( \lambda \mathbf{P} + (1 – \lambda) \mathbf{Q} \) reste dans le triangle.
Cette propriété est essentielle en géométrie algorithmique pour résoudre des problèmes de localisation et de partitionnement.