Épigraphe

Épigraphe

En mathématiques, l’épigraphe d’une fonction f:Rn→R est un ensemble défini comme l’ensemble des points situés au-dessus du graphe de la fonction. Formellement, l’épigraphe de f est donné par :

epi(f)={(x,y)∈Rn×R∣y≥f(x)}

L’épigraphe est un concept central en analyse convexe et en optimisation, car il permet de caractériser les propriétés de convexité d’une fonction. Une fonction f est convexe si et seulement si son épigraphe est un ensemble convexe.

Voici quelques propriétés importantes de l’épigraphe :

  • Convexité : Si f est une fonction convexe, alors epi(f) est un ensemble convexe.
  • Fermeture : L’épigraphe d’une fonction continue est un ensemble fermé.
  • Sous-niveau : Les ensembles de sous-niveau de f sont liés à l’épigraphe. Par exemple, l’ensemble {x∈Rn∣f(x)≤c} est la projection de epi(f) sur Rn pour y=c.

L’épigraphe est utilisé dans de nombreux domaines, notamment :

  • Optimisation convexe : Pour étudier les propriétés des fonctions convexes et leurs minima.
  • Analyse fonctionnelle : Pour caractériser les fonctions semi-continues inférieurement.
  • Théorie des ensembles : Pour étudier les relations entre les ensembles et les fonctions.

Exemples sur Épigraphe

Exemple 1 : Épigraphe d’une fonction linéaire

Considérons la fonction linéaire f(x)=2x+3. Son épigraphe est donné par :

epi(f)={(x,y)∈R2∣y≥2x+3}

Cet ensemble est un demi-plan fermé situé au-dessus de la droite y=2x+3. Comme f est une fonction convexe, son épigraphe est également un ensemble convexe.

Exemple 2 : Épigraphe d’une fonction quadratique

Considérons la fonction quadratique f(x)=x2. Son épigraphe est donné par :

epi(f)={(x,y)∈R2∣y≥x2}

Cet ensemble est la région du plan située au-dessus de la parabole y=x2. Comme f est une fonction convexe, son épigraphe est également un ensemble convexe. Cet exemple illustre comment l’épigraphe capture la convexité d’une fonction.