Théorème sur la continuité des fonctions convexes
- Soit \(f: I \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction convexe définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\).
- La fonction f est continue sur l’intérieur de I.
- Plus précisément, si \(x_0\) est un point intérieur de \(I\), alors : \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]
- La fonction f est continue à gauche en tout point de I.
- Pour tout \(a \in I\) : \[\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)\]
Exemples sur la continuité des fonctions convexes
Exemple 1:
- La fonction exponentielle \(f(x) = e^x\) est convexe sur \(\mathbb{R}\)
- Elle est donc continue sur tout \(\mathbb{R}\)
- On peut le vérifier par le calcul de sa dérivée seconde : \(f »(x) = e^x > 0\)
Exemple 2:
- La fonction \(f(x) = x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\)
- Sa dérivée seconde \(f »(x) = 2 > 0\) confirme la convexité
- Le théorème garantit sa continuité sur \(\mathbb{R}\)