Fonction partie entière
La fonction partie entière, notée \( \lfloor x \rfloor \), est une fonction mathématique qui associe à tout nombre réel \( x \) le plus grand entier inférieur ou égal à \( x \). Elle est également appelée fonction plancher.
Formellement, pour tout \( x \in \mathbb{R} \), la fonction partie entière est définie par :
\[ \lfloor x \rfloor = \max \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \leq x \} \]Propriétés importantes de la fonction partie entière :
- Elle est discontinue en tout point entier.
- Elle est croissante mais non strictement croissante.
- Elle est utilisée dans de nombreux domaines, tels que l’analyse numérique, la théorie des nombres et l’informatique.
Exemples sur Fonction partie entière
Exemple 1 : Fonction partie entière d’un nombre positif
Considérons \( x = 3.7 \). La fonction partie entière de \( x \) est :
\[ \lfloor 3.7 \rfloor = 3 \]En effet, \( 3 \) est le plus grand entier inférieur ou égal à \( 3.7 \).
Exemple 2 : Fonction partie entière d’un nombre négatif
Considérons \( x = -2.3 \). La fonction partie entière de \( x \) est :
\[ \lfloor -2.3 \rfloor = -3 \]En effet, \( -3 \) est le plus grand entier inférieur ou égal à \( -2.3 \).
Exemple 3 : Fonction partie entière d’un entier
Considérons \( x = 5 \). La fonction partie entière de \( x \) est :
\[ \lfloor 5 \rfloor = 5 \]En effet, \( 5 \) est déjà un entier, donc la fonction partie entière ne modifie pas sa valeur.