Fonction partie fractionnaire
La fonction partie fractionnaire, notée \({frac}\) ou \(\{x\}\), est une fonction mathématique fondamentale qui associe à tout nombre réel \(x\) sa partie fractionnaire. Elle est définie par :
\[ \{x\} = x – \lfloor x \rfloor \]
Propriétés principales :
- Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(0 \leq \{x\} < 1\)
- \({frac}\) est périodique de période 1
- Pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), \(\{n\} = 0\)
Exemples sur Fonction partie fractionnaire
Exemple 1: Calcul de la partie fractionnaire de π
- \(\pi \approx 3.14159\)
- \(\{\pi\} = \pi – \lfloor \pi \rfloor = 3.14159 – 3 = 0.14159\)
Exemple 2: Partie fractionnaire d’un nombre négatif
- Pour \(x = -3.7\)
- \(\lfloor -3.7 \rfloor = -4\)
- \(\{-3.7\} = -3.7 – (-4) = 0.3\)
Exemple 3: Application dans les séries
- La série \(\sum_{n=1}^{\infty} \{\frac{n}{\sqrt{2}}\}\)
- Les termes sont: \(\{1.4142…\}\), \(\{2.8284…\}\), \(\{4.2426…\}\), …
- Cette série présente une distribution uniforme sur [0,1)