Fonction partie fractionnaire


La fonction partie fractionnaire, notée \({frac}\) ou \(\{x\}\), est une fonction mathématique fondamentale qui associe à tout nombre réel \(x\) sa partie fractionnaire. Elle est définie par : \[ \{x\} = x – \lfloor x \rfloor \] Propriétés principales :
  • Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(0 \leq \{x\} < 1\)
  • \({frac}\) est périodique de période 1
  • Pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), \(\{n\} = 0\)

Exemples sur Fonction partie fractionnaire


Exemple 1: Calcul de la partie fractionnaire de π
  • \(\pi \approx 3.14159\)
  • \(\{\pi\} = \pi – \lfloor \pi \rfloor = 3.14159 – 3 = 0.14159\)

x y Exemple 2: Partie fractionnaire d’un nombre négatif
  • Pour \(x = -3.7\)
  • \(\lfloor -3.7 \rfloor = -4\)
  • \(\{-3.7\} = -3.7 – (-4) = 0.3\)

Exemple 3: Application dans les séries
  • La série \(\sum_{n=1}^{\infty} \{\frac{n}{\sqrt{2}}\}\)
  • Les termes sont: \(\{1.4142…\}\), \(\{2.8284…\}\), \(\{4.2426…\}\), …
  • Cette série présente une distribution uniforme sur [0,1)