La fonction réciproque arcsin x

La fonction réciproque arcsin x

La fonction arcsin x est la réciproque de la fonction sinus restreinte à l’intervalle \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\). Elle possède les propriétés suivantes :
  • Son domaine de définition est \([-1,1]\)
  • Son ensemble image est \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)
  • La fonction est strictement croissante sur son domaine
  • Pour tout \(x \in [-1,1]\), on a : \(\sin(\arcsin(x)) = x\)
  • Pour tout \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), on a : \(\arcsin(\sin(x)) = x\)
La dérivée de arcsin est donnée par : \[\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

Exemples sur la fonction réciproque arcsin x

Exemple 1 : Calcul de valeurs remarquables
  • \(\arcsin(0) = 0\)
  • \(\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}\)
  • \(\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}\)
  • \(\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}\)
Exemple 2 : Résolution d’une équation Résolvons l’équation : \(\arcsin(x) = \frac{\pi}{4}\)
  • En appliquant sin aux deux membres : \(\sin(\arcsin(x)) = \sin(\frac{\pi}{4})\)
  • Donc : \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Exemple 3 : Dérivation composée Calculons \(\frac{d}{dx}\arcsin(\sin(x))\) sur \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)
  • Par la règle de dérivation composée : \[\frac{d}{dx}\arcsin(\sin(x)) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-\sin^2(x)}} = 1\]
  • Ce résultat confirme que \(\arcsin(\sin(x)) = x\) sur \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)