La fonction réciproque arccos x
La fonction réciproque arccos x, notée \( \arccos(x) \), est la fonction inverse de la fonction cosinus restreinte à l’intervalle \( [0, \pi] \). Elle est définie pour \( x \in [-1, 1] \) et retourne un angle en radians dans l’intervalle \( [0, \pi] \). Formellement :
\[ y = \arccos(x) \quad \text{si et seulement si} \quad x = \cos(y) \quad \text{avec} \quad y \in [0, \pi] \]Propriétés importantes de la fonction \( \arccos(x) \) :
- Elle est décroissante sur son domaine de définition \( [-1, 1] \).
- Elle est continue et dérivable sur \( (-1, 1) \).
- Elle vérifie \( \arccos(-x) = \pi – \arccos(x) \) pour tout \( x \in [-1, 1] \).
- Elle est utilisée dans de nombreux domaines, tels que la géométrie, la physique et l’ingénierie.
Exemples sur La fonction réciproque arccos x
Exemple 1 : Valeur de \( \arccos(x) \) pour \( x = 1 \)
Considérons \( x = 1 \). La valeur de \( \arccos(x) \) est :
\[ \arccos(1) = 0 \]En effet, \( \cos(0) = 1 \), donc \( \arccos(1) = 0 \).
Exemple 2 : Valeur de \( \arccos(x) \) pour \( x = 0 \)
Considérons \( x = 0 \). La valeur de \( \arccos(x) \) est :
\[ \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \]En effet, \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \), donc \( \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \).
Exemple 3 : Valeur de \( \arccos(x) \) pour \( x = -1 \)
Considérons \( x = -1 \). La valeur de \( \arccos(x) \) est :
\[ \arccos(-1) = \pi \]En effet, \( \cos(\pi) = -1 \), donc \( \arccos(-1) = \pi \).