La fonction réciproque arctan x

La fonction réciproque arctan x

La fonction arctangente est la réciproque de la fonction tangente sur l’intervalle \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\). Elle est notée \(\arctan(x)\) ou \(\tan^{-1}(x)\). Propriétés principales :
  • Domaine de définition : \(\mathbb{R}\)
  • Image : \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\)
  • La fonction est strictement croissante
  • Équation fonctionnelle : \(\tan(\arctan(x)) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
  • Dérivée : \(\frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}\)

Exemples sur la fonction réciproque arctan x

Exemple 1 : Calcul de valeurs remarquables
  • \(\arctan(0) = 0\)
  • \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\)
  • \(\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}\)
  • \(\lim_{x \to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}\)
Exemple 2 : Résolution d’équation

Résolvons l’équation : \(\arctan(x) = \frac{\pi}{6}\)

  • En appliquant \(\tan\) des deux côtés : \(\tan(\arctan(x)) = \tan(\frac{\pi}{6})\)
  • Donc : \(x = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
Exemple 3 : Dérivation composée

Calculons \(\frac{d}{dx}[\arctan(x^2)]\)

  • Par la règle de dérivation composée :
  • \(\frac{d}{dx}[\arctan(x^2)] = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)\)
  • \(= \frac{2x}{1+x^4}\)