La fonction réciproque arctan x
La fonction arctangente est la réciproque de la fonction tangente sur l’intervalle \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\). Elle est notée \(\arctan(x)\) ou \(\tan^{-1}(x)\).
Propriétés principales :
- Domaine de définition : \(\mathbb{R}\)
- Image : \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\)
- La fonction est strictement croissante
- Équation fonctionnelle : \(\tan(\arctan(x)) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
- Dérivée : \(\frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}\)
Exemples sur la fonction réciproque arctan x
Exemple 1 : Calcul de valeurs remarquables
- \(\arctan(0) = 0\)
- \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\)
- \(\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}\)
- \(\lim_{x \to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}\)
Exemple 2 : Résolution d’équation
Résolvons l’équation : \(\arctan(x) = \frac{\pi}{6}\)
- En appliquant \(\tan\) des deux côtés : \(\tan(\arctan(x)) = \tan(\frac{\pi}{6})\)
- Donc : \(x = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
Exemple 3 : Dérivation composée
Calculons \(\frac{d}{dx}[\arctan(x^2)]\)
- Par la règle de dérivation composée :
- \(\frac{d}{dx}[\arctan(x^2)] = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)\)
- \(= \frac{2x}{1+x^4}\)