Fonction exponentielle (exp x)


La fonction exponentielle, notée \( \exp(x) \) ou \( e^x \), est une fonction mathématique fondamentale définie pour tout nombre réel \( x \). Elle est caractérisée par sa propriété unique : sa dérivée est égale à elle-même. Formellement :

\[ \frac{d}{dx} \exp(x) = \exp(x) \]

Propriétés importantes de la fonction exponentielle :

  • Elle est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).
  • Elle vérifie \( \exp(0) = 1 \) et \( \exp(1) = e \), où \( e \approx 2.71828 \) est la base des logarithmes naturels.
  • Elle satisfait la propriété fonctionnelle \( \exp(a + b) = \exp(a) \cdot \exp(b) \) pour tout \( a, b \in \mathbb{R} \).
  • Elle est utilisée dans de nombreux domaines, tels que la physique, l’économie, la biologie et les sciences de l’ingénieur.

Exemples sur Fonction exponentielle (exp x)


Exemple 1 : Valeur de \( \exp(x) \) pour \( x = 0 \)

Considérons \( x = 0 \). La valeur de \( \exp(x) \) est :

\[ \exp(0) = 1 \]

En effet, par définition, la fonction exponentielle vérifie \( \exp(0) = 1 \).

\( (0, 1) \)

Exemple 2 : Valeur de \( \exp(x) \) pour \( x = 1 \)

Considérons \( x = 1 \). La valeur de \( \exp(x) \) est :

\[ \exp(1) = e \approx 2.71828 \]

En effet, \( e \) est la base des logarithmes naturels, et \( \exp(1) = e \).

\( (1, e) \)

Exemple 3 : Valeur de \( \exp(x) \) pour \( x = -1 \)

Considérons \( x = -1 \). La valeur de \( \exp(x) \) est :

\[ \exp(-1) = \frac{1}{e} \approx 0.36788 \]

En effet, la fonction exponentielle vérifie \( \exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)} \).

\( (-1, \frac{1}{e}) \)