Fonction injective, surjective, bijective


Une fonction f : E → F entre deux ensembles E et F peut avoir différentes propriétés :
  • Injective : \(\forall x_1, x_2 \in E, f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)
  • Surjective : \(\forall y \in F, \exists x \in E : f(x) = y\)
  • Bijective : La fonction est à la fois injective et surjective
Ces propriétés sont fondamentales en mathématiques car elles permettent de :
  • Caractériser les correspondances entre ensembles
  • Établir des isomorphismes
  • Résoudre des équations fonctionnelles

Exemples sur les fonctions injectives, surjectives et bijectives


Exemple 1 : Fonction exponentielle

La fonction \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+*}\) définie par \(f(x) = e^x\) est :

  • Injective : \(e^{x_1} = e^{x_2} \Rightarrow x_1 = x_2\)
  • Surjective sur \(\mathbb{R}^{+*}\)
  • Bijective sur \(\mathbb{R}^{+*}\)

Exemple 2 : Fonction carrée

La fonction \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+\) définie par \(f(x) = x^2\) est :

  • Non injective : \(f(-2) = f(2) = 4\)
  • Surjective sur \(\mathbb{R}^+\)
  • Non bijective sur \(\mathbb{R}\)

Exemple 3 : Fonction identité

La fonction \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x\) est :

  • Injective : \(x_1 = x_2 \Leftrightarrow f(x_1) = f(x_2)\)
  • Surjective : Tout réel est image d’un réel
  • Bijective sur \(\mathbb{R}\)