Fonction injective, surjective, bijective
Une fonction f : E → F entre deux ensembles E et F peut avoir différentes propriétés :
- Injective : \(\forall x_1, x_2 \in E, f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)
- Surjective : \(\forall y \in F, \exists x \in E : f(x) = y\)
- Bijective : La fonction est à la fois injective et surjective
- Caractériser les correspondances entre ensembles
- Établir des isomorphismes
- Résoudre des équations fonctionnelles
Exemples sur les fonctions injectives, surjectives et bijectives
Exemple 1 : Fonction exponentielle
La fonction \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+*}\) définie par \(f(x) = e^x\) est :
- Injective : \(e^{x_1} = e^{x_2} \Rightarrow x_1 = x_2\)
- Surjective sur \(\mathbb{R}^{+*}\)
- Bijective sur \(\mathbb{R}^{+*}\)
Exemple 2 : Fonction carrée
La fonction \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+\) définie par \(f(x) = x^2\) est :
- Non injective : \(f(-2) = f(2) = 4\)
- Surjective sur \(\mathbb{R}^+\)
- Non bijective sur \(\mathbb{R}\)
Exemple 3 : Fonction identité
La fonction \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x\) est :
- Injective : \(x_1 = x_2 \Leftrightarrow f(x_1) = f(x_2)\)
- Surjective : Tout réel est image d’un réel
- Bijective sur \(\mathbb{R}\)