Fonction inverse
En mathématiques, la fonction inverse d’une fonction \( f \), notée \( f^{-1} \), est une fonction qui « annule » l’effet de \( f \). Autrement dit, pour tout \( x \) dans le domaine de \( f \), on a :
\[ f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{et} \quad f(f^{-1}(x)) = x \]Pour qu’une fonction admette une fonction inverse, elle doit être bijective (à la fois injective et surjective). Voici quelques propriétés importantes :
- La courbe de \( f^{-1} \) est le symétrique de la courbe de \( f \) par rapport à la droite \( y = x \).
- Si \( f \) est dérivable et \( f'(x) \neq 0 \), alors \( f^{-1} \) est également dérivable et : \[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{où} \quad y = f(x) \]
Exemples sur Fonction inverse
Exemple 1 : Fonction inverse de \( f(x) = 2x + 3 \)
Pour trouver \( f^{-1}(x) \), on résout l’équation \( y = 2x + 3 \) pour \( x \) :
\[ y = 2x + 3 \implies x = \frac{y – 3}{2} \]Ainsi, la fonction inverse est :
\[ f^{-1}(x) = \frac{x – 3}{2} \]Exemple 2 : Fonction inverse de \( f(x) = e^x \)
La fonction exponentielle \( f(x) = e^x \) est bijective sur \( \mathbb{R} \). Pour trouver \( f^{-1}(x) \), on résout \( y = e^x \) pour \( x \) :
\[ y = e^x \implies x = \ln(y) \]Ainsi, la fonction inverse est :
\[ f^{-1}(x) = \ln(x) \]Exemple 3 : Fonction inverse de \( f(x) = x^2 \) sur \( [0, +\infty) \)
La fonction \( f(x) = x^2 \) est bijective sur \( [0, +\infty) \). Pour trouver \( f^{-1}(x) \), on résout \( y = x^2 \) pour \( x \) :
\[ y = x^2 \implies x = \sqrt{y} \]Ainsi, la fonction inverse est :
\[ f^{-1}(x) = \sqrt{x} \]