Fonction paire et fonction impaire
En mathématiques, les fonctions peuvent être classées en deux catégories importantes : les fonctions paires et les fonctions impaires. Ces propriétés sont définies par leur symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ou à l’origine.
- Une fonction \( f \) est dite paire si pour tout \( x \) dans son domaine : \[ f(-x) = f(x) \]
- Une fonction \( f \) est dite impaire si pour tout \( x \) dans son domaine : \[ f(-x) = -f(x) \]
Ces propriétés sont utiles pour simplifier les calculs et analyser les symétries des fonctions.
Exemples sur Fonction paire et fonction impaire
Exemple 1 : Fonction paire \( f(x) = x^2 \)
Vérifions si \( f(x) = x^2 \) est paire :
\[ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \]Ainsi, \( f(x) = x^2 \) est une fonction paire.
Exemple 2 : Fonction impaire \( f(x) = x^3 \)
Vérifions si \( f(x) = x^3 \) est impaire :
\[ f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) \]Ainsi, \( f(x) = x^3 \) est une fonction impaire.
Exemple 3 : Fonction ni paire ni impaire \( f(x) = x^2 + x \)
Vérifions si \( f(x) = x^2 + x \) est paire ou impaire :
\[ f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 – x \]On constate que \( f(-x) \neq f(x) \) et \( f(-x) \neq -f(x) \). Ainsi, \( f(x) = x^2 + x \) est ni paire ni impaire.