Fonction croissante et fonction décroissante
En mathématiques, une fonction est dite croissante ou décroissante selon la manière dont ses valeurs évoluent lorsque la variable augmente. Ces propriétés sont essentielles pour l’analyse des fonctions et leur comportement.
- Une fonction \( f \) est croissante sur un intervalle \( I \) si pour tout \( x_1, x_2 \in I \) : \[ x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leq f(x_2) \]
- Une fonction \( f \) est décroissante sur un intervalle \( I \) si pour tout \( x_1, x_2 \in I \) : \[ x_1 < x_2 \implies f(x_1) \geq f(x_2) \]
Ces définitions permettent de déterminer le sens de variation d’une fonction sur un intervalle donné.
Exemples sur Fonction croissante et fonction décroissante
Exemple 1 : Fonction croissante \( f(x) = 2x + 3 \)
La fonction \( f(x) = 2x + 3 \) est une droite de pente positive. Pour tout \( x_1 < x_2 \), on a :
\[ f(x_1) = 2x_1 + 3 \quad \text{et} \quad f(x_2) = 2x_2 + 3 \]Comme \( x_1 < x_2 \), alors \( 2x_1 + 3 < 2x_2 + 3 \). Ainsi, \( f(x) \) est croissante sur \( \mathbb{R} \).
Exemple 2 : Fonction décroissante \( f(x) = -x + 4 \)
La fonction \( f(x) = -x + 4 \) est une droite de pente négative. Pour tout \( x_1 < x_2 \), on a :
\[ f(x_1) = -x_1 + 4 \quad \text{et} \quad f(x_2) = -x_2 + 4 \]Comme \( x_1 < x_2 \), alors \( -x_1 + 4 > -x_2 + 4 \). Ainsi, \( f(x) \) est décroissante sur \( \mathbb{R} \).
Exemple 3 : Fonction non monotone \( f(x) = x^2 \)
La fonction \( f(x) = x^2 \) est décroissante sur \( (-\infty, 0] \) et croissante sur \( [0, +\infty) \). En effet :
- Pour \( x_1 < x_2 \leq 0 \), \( f(x_1) = x_1^2 > x_2^2 = f(x_2) \).
- Pour \( 0 \leq x_1 < x_2 \), \( f(x_1) = x_1^2 < x_2^2 = f(x_2) \).
Ainsi, \( f(x) = x^2 \) n’est pas monotone sur \( \mathbb{R} \).