Fonction périodique
En mathématiques, une fonction périodique est une fonction qui répète ses valeurs à intervalles réguliers, appelés périodes. Formellement, une fonction \( f \) est dite périodique de période \( T \) (où \( T > 0 \)) si pour tout \( x \) dans son domaine :
\[ f(x + T) = f(x) \]Les fonctions périodiques sont omniprésentes en mathématiques, en physique et en ingénierie, notamment dans l’étude des ondes et des oscillations. Voici quelques propriétés importantes :
- La plus petite période \( T \) est appelée période fondamentale.
- Les fonctions trigonométriques comme \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \) sont des exemples classiques de fonctions périodiques.
- Si \( f \) est périodique de période \( T \), alors elle est également périodique de période \( nT \) pour tout entier \( n \).
Exemples sur Fonction périodique
Exemple 1 : Fonction sinus \( f(x) = \sin(x) \)
La fonction \( f(x) = \sin(x) \) est périodique de période \( 2\pi \). En effet, pour tout \( x \) :
\[ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) \]Ainsi, \( \sin(x) \) est une fonction périodique de période \( 2\pi \).
Exemple 2 : Fonction cosinus \( f(x) = \cos(x) \)
La fonction \( f(x) = \cos(x) \) est également périodique de période \( 2\pi \). Pour tout \( x \) :
\[ \cos(x + 2\pi) = \cos(x) \]Ainsi, \( \cos(x) \) est une fonction périodique de période \( 2\pi \).
Exemple 3 : Fonction tangente \( f(x) = \tan(x) \)
La fonction \( f(x) = \tan(x) \) est périodique de période \( \pi \). Pour tout \( x \) où elle est définie :
\[ \tan(x + \pi) = \tan(x) \]Ainsi, \( \tan(x) \) est une fonction périodique de période \( \pi \).