Transformations de fonctions : Homothétie
En mathématiques, une homothétie est une transformation géométrique qui modifie la taille d’une fonction en la dilatant ou en la contractant. Cette transformation peut être appliquée horizontalement ou verticalement, et elle est définie par un facteur d’échelle \( k \).
- Homothétie verticale : Pour une fonction \( f(x) \), une homothétie verticale de facteur \( k \) est donnée par : \[ k \cdot f(x) \]
- Homothétie horizontale : Pour une fonction \( f(x) \), une homothétie horizontale de facteur \( k \) est donnée par : \[ f\left(\frac{x}{k}\right) \]
Ces transformations permettent de redimensionner les fonctions tout en conservant leur forme générale.
Exemples sur Transformations de fonctions : Homothétie
Exemple 1 : Homothétie verticale de \( f(x) = x^2 \)
Considérons la fonction \( f(x) = x^2 \). Une homothétie verticale de facteur \( 2 \) donne :
\[ 2 \cdot f(x) = 2x^2 \]Le graphe de \( 2x^2 \) est une dilatation verticale de \( f(x) \) par un facteur \( 2 \).
Exemple 2 : Homothétie horizontale de \( f(x) = \sin(x) \)
Considérons la fonction \( f(x) = \sin(x) \). Une homothétie horizontale de facteur \( \frac{1}{2} \) donne :
\[ f\left(\frac{x}{1/2}\right) = \sin(2x) \]Le graphe de \( \sin(2x) \) est une contraction horizontale de \( f(x) \) par un facteur \( \frac{1}{2} \).
Exemple 3 : Homothétie verticale et horizontale de \( f(x) = \sqrt{x} \)
Considérons la fonction \( f(x) = \sqrt{x} \). Une homothétie verticale de facteur \( 3 \) et une homothétie horizontale de facteur \( 2 \) donnent :
\[ 3 \cdot f\left(\frac{x}{2}\right) = 3\sqrt{\frac{x}{2}} \]Le graphe de cette fonction est une dilatation verticale par \( 3 \) et une dilatation horizontale par \( 2 \).